Equivalent de Somme des 1/k^3

[invite301a3965]

Bonsoir, je cherche à calculer l'équivalent de la somme de n à +infini des 1/k^3.
Quelqu'un peut-il m'aider? Merci.
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[invite9ad0d8f3]

Bonsoir,

Il faut utiliser la comparaison série/intégrale, en prenant la fonction f : t -> 1/t^3 (continue, positive et décroissante sur [1, + l'infini[).
Tu pourras ainsi encadrer la somme de n à + l'infini de 1/k^3 et trouver l'équivalent pour n -> + l'infini.

[inviteea028771]

Tu ne cherche pas un equivalent, puisque cette serie est convergente, mais la valeur de cette somme.

Malheureusement il n'existe pas d'expression simple de cette valeur (autre que )

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

Tu ne cherche pas un equivalent, puisque cette serie est convergente, mais la valeur de cette somme.

Malheureusement il n'existe pas d'expression simple de cette valeur (autre que )

il cherche en fait le reste de la série...

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Ca m'apprendra a survoler avant de répondre

[invite301a3965]

Comparaison série intégrale??
Et quel est cette relation car je ne connais pas encore cette propriété?

[invite9ad0d8f3]

La comparaison série/intégrale repose sur la "démonstration" suivante : la fonction f : t -> 1/t^3 étant décroissante sur [1, [, pour tout t appartenant à [k, k+1] (avec k un entier non nul), on a :

f(k+1) f(t) f(k)

D'où, en intégrant :



Puis on somme pour k allant de n à N (entier naturel), on calcule les deux intégrales, on fait tendre N vers l'infini et on obtient ainsi un encadrement de , dont on déduit l'équivalent pour n -> .