équivalent de somme des phi(k)

[invitec1d9f238]

Existe-t'il un équivalent de sum(phi(k),k=1..n) lorsque n tend vers l'infini?
ou phi(k) est le nombre dans {1,...,k} de nombres premiers avec k.
S'il en existe un je pense qu'il est sous la forme a*n avec 0<a<1 mais pas forcément.
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[invite4ef352d8]

Salut !

en effet ca existe, et il est sous la forme 3n²/Pi²

c'est ce résultat (et ces variantes) qu'on exprime souvent sous la forme "la probabilité que deux nombres pris au hasard soit premier entre eux est 6/Pi²"


Pour prouve ce résultat, il faut commencer par étudier la somme des Phi(k)/k (on s'y ramène par une transformation d'abel, et qui va être équivalent à 6n/Pi²) et on trouve un équivalent de cette somme en écrivant que

Phi(k) = somme pou d|k de mu(d)(k/d)

où mu est la fonction de mobius.
ensuite il faut permuter les deux somations, et le 6/Pi² apparait grâce à la formule somme des mu(n)/n² = (somme des 1/n²)^(-1)= 6/Pi².

[invitec1d9f238]

oups désolé c'était la somme des phi(k)/k qui m'intéressait donc 6/Pi^2.
En fait c'était pour avoir une idée du cardinal de Q par rapport à celui de N^2 ,même s'il existe une bijection de N dans Q et qu'on peut dire qu'ils ont le même cardinal, parce qu'il existe des bijections de N dans N^2,N^3 donc c'est étrange.
Là c'était en écrivant Q comme la liste des fractions avec un numérateur p dans Z et un dénominateur q dans N* tel que les deux soient premier entre eux.
Donc en fait on peut dire que cardinal de Q=(6/Pi^2)*cardinal(N^2).
merci bien

[invite4ef352d8]

C'est très discutable ce que tu dis, en comptant autrement on pourait très bien obtenir un autre résultat ! la bonne notion est que card(Q)=Card(N)=card(N²) car tous ces ensembles sont en bijection.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1d9f238]

oui c'est ce que je disais.
On peut faire des bijections de N dans N^p pour tout p entier(sauf peut-etre quand p tend vers l'infini, ie N^N où l'ensemble des suites à valeurs dans N)
ce qui voudrait dire qu'il y a autant d'entiers que de couples,triplets...n-uplets d'entiers?Pourtant il semble naturellement qu'il y a beaucoup plus de triplets que de de couples et beaucoup plus de couples que d'entiers.
Mais je ne trouve pas de moyens de faire la distinction entre les deux.

[Médiat]

On peut faire des bijections de N dans N^p pour tout p entier

Oui.

(sauf peut-etre quand p tend vers l'infini, ie N^N où l'ensemble des suites à valeurs dans N)

C'est effectivement différent, puisque est isomorphe à , donc de cardinal (comme )

ce qui voudrait dire qu'il y a autant d'entiers que de couples,triplets...n-uplets d'entiers?

Oui

Pourtant il semble naturellement qu'il y a beaucoup plus de triplets que de de couples et beaucoup plus de couples que d'entiers.
Mais je ne trouve pas de moyens de faire la distinction entre les deux.

J'ai abordé ce sujet là : http://forums.futura-sciences.com/ma...nsembleoe.html

[inviteaf1870ed]

Regarde les références à l'hotel de Hilbert sur le Net, qui illustrent assez bien la difficulté de compter les infinis. Par exemple ici : http://www.ceremade.dauphine.fr/~vio...de-Hilbert.pdf

[invitec1d9f238]

oui
ce que je veux dire c'est que si l'on regarde une parti fini de l'ensemble des rationnels,qu'elle taille aura-t'elle à peu près
par exemple si l'on regarde l'ensemble des fractions à numérateur et dénominateur dans {1,...,n} il y en a à peu près somme(phi(k)/kpour k=1àn)*n^2.et donc lorsque n tend vers +l'infini aussi.
Bon je comprends bien qu'il y ait le même nombre d'entiers que de rationnels (ou du moins d'ordre de grandeur) mais bon...

[invite4ef352d8]

biensûr, mais la seul chose qu'on te reproche c'est d'interpréter ca comme "card Q = card N² * qqch" parceque, comme je l'ai dit, en comptant les rationelles différement, on pourait très bien obtenir un résultat différent !

mais si tu me dit quelque chose de précis comme : "le nombre de rationels positif à numérateur et dénominateur dans [|1,n|] , diviser par les nombres de couple d'entier dans [|1,n|] tend vers 6/Pi² quand n tend vers l'infinie" là je suis completement d'accord.