derivée forme quadratique

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

ma question est surement tres simple mais bon je voudrais être sur...

je cherche la derivée de:



es ce
==>



ou
==>



ou
==>



-----

[invite6f25a1fe]

Tu définis ton gradient par rapport à quelles variables ? R est une variable, ou une fonction ? En gros, tu as R=x ou R=R(x) ???

Si tu as par exemple R(x)=A.X, alors tu obtiens bien une forme quadratique (vu que c'est le titre de ton sujet....) en X de la forme :
avec AtA une matrice qui sera carrée symétrique. Dans ce cas, le gradient sera :
(exactement de la même manière qu'une fonction d'une variable)

[invite9c7554e3]

Tu définis ton gradient par rapport à quelles variables ? R est une variable, ou une fonction ? En gros, tu as R=x ou R=R(x) ???

Si tu as par exemple R(x)=A.X, alors tu obtiens bien une forme quadratique (vu que c'est le titre de ton sujet....) en X de la forme :
avec AtA une matrice qui sera carrée symétrique. Dans ce cas, le gradient sera :
(exactement de la même manière qu'une fonction d'une variable)

ok merci, en fait j'ai mais je ne connais pas forcement l'expression analytique je parle dans un cadre generale

le gradient est par rapport aux variables contenu dans x (x1, x2...)

[invite9c7554e3]

Si tu as par exemple R(x)=A.X, alors tu obtiens bien une forme quadratique (vu que c'est le titre de ton sujet....)

En fait je pensais que etait une forme quadratique...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c7554e3]

Tu définis ton gradient par rapport à quelles variables ? R est une variable, ou une fonction ? En gros, tu as R=x ou R=R(x) ???

Si tu as par exemple R(x)=A.X, alors tu obtiens bien une forme quadratique (vu que c'est le titre de ton sujet....) en X de la forme :
avec AtA une matrice qui sera carrée symétrique. Dans ce cas, le gradient sera :
(exactement de la même manière qu'une fonction d'une variable)

ici tu m'as donné dans un cas précis mais il n'y a pas un cas général si on ne connais pas l'expression de R(x) ?

je pense que c'est une des proposition que j'ai mis dans le premier post la reponse mais je ne sais pas pourquoi mathematiquement

[invite6f25a1fe]

voila comment je procéderais :
soit F(x)=f1(x).e1+f2(x).e2 une fonction de E (x de dimension N) vers F (ici de dimension 2)
G(x)=g1(x)e1+g2(x).e2
On a donc J=tF.G=f1.g1+f2.g2
et
idem pour G

On aura donc

Dans ton cas où F=G, cela donnerait donc avec que . Mais bon, je ne suis plus trop habitué à manipuler les fonctions de Rn dans Rp, donc il y a peut être une erreur quelque part.

[invite9c7554e3]

voila comment je procéderais :
soit F(x)=f1(x).e1+f2(x).e2 une fonction de E (x de dimension N) vers F (ici de dimension 2)
G(x)=g1(x)e1+g2(x).e2
On a donc J=tF.G=f1.g1+f2.g2
et
idem pour G

On aura donc

Dans ton cas où F=G, cela donnerait donc avec que . Mais bon, je ne suis plus trop habitué à manipuler les fonctions de Rn dans Rp, donc il y a peut être une erreur quelque part.

merci beaucoup de ta réponse, je n'avais pas pensé à procéder ainsi.

(je t'avous que le contraire m'aurait arrangé.. lol)

[invite6f25a1fe]

Hmmm, je ne suis pas convaincu de ma réponse en tout cas, il faudra que je fasse ca sur papier plutôt que sur ce forum pour m'en assurer.

[invite9c7554e3]

j'aurais plutot dis:



et si F=R=G



Et apres il doit avoir une factorisation a faire...

[invite9c7554e3]

j'aurais plutot dis:



et si F=R=G



Et apres il doit avoir une factorisation a faire...

Es ce que quelqu'un à un avis là dessus svp?

[invite9c7554e3]

je me permets un up

[invite57a1e779]

Tu définis ton gradient par rapport à quelles variables ? R est une variable, ou une fonction ?

Le problème est que tes notations ne sont pas définies, et que, du coup, les formules que tu écris n'ont aucun sens.

Quelle est la nature des objets mathématiques que tu notes , , ?
Quelles sont les variables ?
Quelle est la nature de mathématiques de ? de ?

[invite9c7554e3]

Le problème est que tes notations ne sont pas définies, et que, du coup, les formules que tu écris n'ont aucun sens.

Quelle est la nature des objets mathématiques que tu notes , , ?
Quelles sont les variables ?
Quelle est la nature de mathématiques de ? de ?

Bonjour et merci de ton aide.

1°) , , sont des vecteurs fonction de n parametres (ou d'un vecteur parametre)

2°) les variables sont donc ces parametres

3°) sont les gradients du vecteur considéré par rapport aux variables de celui ci

exmple pour on a pour la premiere composante de quelque chose du type:

[invite57a1e779]

Ca n'a aucun sens : le premier membre est censé être la première composante d'un vecteur, donc un scalaire, alors que, au second membre, les dérivées partielles du vecteur sont elles-même des vecteurs.

Il y a un gros problème d'homogénéité dans les formules que tu proposes.

[invite9c7554e3]

avec un vecteur et donc J un scalaire



avec un vecteur


est donc une matrice et comme un vecteur on arrive bien a retomber sur un vecteur

[invite9c7554e3]

avec un vecteur et donc J un scalaire



avec un vecteur


est donc une matrice et comme un vecteur on arrive bien a retomber sur un vecteur

Pour etre plus clair:

et donc dependent des parametres X1, X2....Xn

==> J'ai regardé sur un document et j'ai vu que la reponse serais apparemment



mais je ne vois pas pourquoi

[invite6f25a1fe]

Si R(X) est un vecteur, alors on R1, ... , Rn des fonctions scalaire de R^n dans R, soit avec X=(x1, x2, ..., xn)

Donc J(X) est bien un scalaire (je ne prend pas en compte le 1/2 pour trop alourdir les notations) :


Son gradient est donc donné par la relation, avec pour valeur au point X le vecteur grad(J) suivant:
qui est bien un vecteur car R est un vecteur, est une matrice avec avec grad(Ri) un vecteur colonne (qu'on juxtapose en ligne pour faire la matrice)

Donc on retrouve bien ta formule en fait (sauf erreur de calculs ou de notations de ma part)

[invite6f25a1fe]

Ha, si une petite erreur en fait. Le calcul avec mes notations donnerait la formule suivante :
(il n'y a pas de transposée sur le gradient avec la convention que j'ai prise)

ceci vient du fait que j'ai du mal choisir la convention pour le gradient d'une fonction vectorielle. Il me semble que le convention couramment admise est de mettre les gradients les uns en dessous des autres (un gradient étant alors une ligne de la matrice). Il y a bien juste une transposée à faire pour passer de l'un à l'autre (car moi j'avais considéré les gradients comme des vecteurs colonnes, et je les ai avais placé les un à coté des autres pour former la matrice), ce qui fait que la formule est juste au finale.

A vérifier tout de même...s

[invite9c7554e3]

oui c'est bien ce que je pensais egalement mais j'avais du mal à le mettre formellement en place.

Merci beaucoup scorp (encore une fois de +)