Polynômes sur un anneau quotient

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,
je me posais une question dont je ne sais pas réellement à priori la réponse.

Plaçons nous dans avec et

Soit son anneaux de polynômes à une seul indéterminée.

Soit le morphisme f:

On vérifie bien que f est un morphisme en vérifiant que :


on a : en prenant l'addition termes à termes et la multiplication terme à terme pour la combinaison de deux p-uplet et

Alors est un idéal de

Ma question est la suivante :
est il principal, donc il y a t-il un polynôme de degré minimal qui engendre , et cela dépend t-il de la primalité de p, donc du fait que soit un corps ou pas?
Si ce noyau est bel et bien principal comment trouver le polynôme minimal ?

Par exemple si p est premier alors est un corps et donc f est un morphisme d'espace vectoriel, on doit pouvoir donc l'étudier matriciellement peut être cela peut facilité l'étude d'un quelconque caractère principal de son noyau ?

Je ne veux pas une réponse clé en main. Je veux trouver et pas qu'on me le donne sans rien payer ^^.

Il y a t-il une expression équivalente à l'interpolation Lagrangienne dans le corps des fractions de (avec donc nécessairement p premier car pour qu'un corps de fraction existe il faut que l'anneau soit intègre et donc pour que ce soit un corps) ? Celle là par contre je pense que ce n'est pas possible vis à vis du fait que le précédent est non réduit à {0}... est-ce bien cela? voulant dire que et sont non isomorphes ?

Merci par avance.
RoBeRTo
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Je ne sais pas si ca aide, mais le fait que c'est un morphisme est évident, vu que c'est le produit cartesien de morphisme. En effet, l'application est un morphisme qui tape dans Z/pZ, et sauf erreur le noyau de ton morphisme est .

En fait, on voit bien qu'un polynome est dans ton noyau si et seulement si la fonction polynomiale associée est nulle. Je ne sais pas si c'est plus simple de le determiner sous cet angle...

[invite4ef352d8]

Salut !

pour tout corps k k[X] est principale, donc ton ideal est bien principale.

le polynôme minimal est de facon evidente (par la définition de ton idéal) le polynome x*(x-1)*(x-2)*...*(x-(p-1) ) qui s'avère être égal au polynome x^p - x

(les deux polynome sont unitaire de degrée p et admettent les même p racines simple : tout les elements de Z/pZ )

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci Ksilver je ne savais pas que les anneaux de polynômes étaient principaux.
Merci Jobherzt je n'ai pas pensé à cette démonstration là et ton expression du noyau de f nous ramène bien à l'élément générateur que nous à donné Ksilver.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Un anneau de polynome sur un corps est euclidien (pour le degrée) donc principale.

mais un anneau de polynome sur un anneau n'est pas principale (par exemple Z[X] n'est pas principale...)

en fait il me semble que si A est intègre, alors A[X] est principale si et seulement si A est un corps.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Donc sur tout anneau de polynôme d'un anneau intègre les idéaux sont principaux.
Donc dans mon cas pour p premier.

[invite4ef352d8]

Non seulement les anneaux de polynome sur un coprs j'ai dit ! dans Z[X] l'ideal (2,X) n'est pas principale par exemple.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ok. (2,X) veut dire?



congru à donc le polynôme est dans le ker f sur

Mais plus fort quand p est premier on a d'après le petit théorème de fermat :

congru à donc est dans le ker f sur avec p premier.

D'où un des polynômes diviseurs de ceux ci engendre ker f, ou alors eux.

non?