Equation de la projection d'un ellipsoïde

[invite0617816d]

Bonjour à toutes et tous,


Je voudrais établir, l'équation de la projection orthogonale d'un ellipsoïde de révolution (E) sur un plan (P) de l'espace dont les cosinus directeurs sont donnés.

Dans un repère cartésien O,x,y,z l'équation de l'ellipsoïde (E) est la suivante :

x²/a²+y²/a²+z²/c²=1

L'équation du plan (P) : ux+vy+wz = 0 (passant par zéro), cependant tout plan parallèle à celui-ci devrait donner la même équation en raison des propriétés d'une projection orthogonale.

J'ai essayé la solution consistant à exprimer l'équation de (E) dans le repère cartésien lié au plan (P) et en annulant la coordonnée perpendiculaire au plan, mais le résultat obtenu correspond à l'équation de l'intersection de l'ellipsoïde avec le plan passant par O et non à l'équation de la projection orthogonale sur (P).

Pour imager, cette projection correspond à "l'ombre" de l'ellipsoïde qu'un plan d'onde lumineuse formerait sur un plan écran parallèle.

Merci de m'apporter des pistes de solution ou des éléments de méthode pour résoudre ce problème ?
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[NicoEnac]

Bonjour,

J'espère que la réponse n'est pas trop tardive.

Je réponds grâce à mon intuition sans aucune preuve mathématique (désolé).

A priori, la projection de l'ellipsoïde telle que tu l'as décrite définit une surface. Reste à trouver les limites de cette surface sur le plan (P). Intuitivement donc, je dirais les points de l'ellipsoïde qui définissent cette limite une fois projetés, sont ceux qui n'ont qu'un point d'intersection avec les droites perpendiculaires au plan (P). Mathématiquement (et toujours intuitivement), je traduirai cela par le fait que leur vecteur gradient est perpendiculaire à (u, v, w) qui est un vecteur perpendiculaire au plan (P) (et qui matérialise si on veut les rayons lumineux).

Je suis conscient que mes explications peuvent sembler fumeuses mais elles me semblent correctes. N'hésite pas à poser des questions sur les points qui ne te semblent pas clairs.

P.S : l'équation de l'ellipsoïde est bien x²/a²+y²/a²+z²/c² = 1 et pas x²/a²+y²/b²+z²/c² = 1 ?

[breukin]

Oui, c'est bien "a" car on nous dit que l'ellipsoïde est de révolution, donc est produit par une ellipse en rotation autour d'un de ses deux axes, conduisant soit à un ellipsoïde applati, soit un allongé, selon les valeurs relatives de a et b.

Intuitivement, la projection d'un tel ellipsoïde, et même un quelconque, sur un plan quelconque, devrait conduire à une ellipse.
Il ne reste qu'à vérifier, ou infirmer, cette intuition.

[invite0617816d]

Merci pour tes intuitions qui confortent les miennes. J'avais commencé à étudier l'orthogonalité d'un plan tangent avec le plan de projection (produit scalaire nul). l'idée d'une droite tangente et perpendiculaire au plan est probablement plus facile à utiliser.
En considérant que la projection est une ellipse et en effectuant un changement de repère je pense arriver à la solution.
Merci pour tes idées, l'échange avec quelqu'un fait toujours avancer vers des solutions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0617816d]

L'idée que la projection de l'ellipsoïde de révolution (E) est une ellipse simplifie le problème. Avec les propriétés d'orthogonalité du plan avec les rayons tangents à (E), j'avance vers la solution.

Merci à toi.

[NicoEnac]

Re,

En utilisant mon hypothèse sur le gradient, on trouve que l'ensemble des points de l'ellipsoïde qui forme la limite de la projection de l'ellipsoïde sur le plan (P) obéit à l'équation suivante :

x.u/a² + y.v/a² + z.w/c² = 0 (produit scalaire entre le vecteur normal à (P) et le gradient est nul). On obtient donc l'équation du plan qui contient l'ellipse qui doit être projetée sur (P) et qui délimite l'ombre de l'ellipsoïde projetée sur (P).