Normes égales

[invitebe08d051]

Salut,

Je désire montrer que les deux normes suivantes sur sont égales:

.

.

Par Cauchy-Schwartz, il est clair que:


Et donc .

Mais, je bloque ici.

J'ai aussi remarqué une chose, si on considère la droite d'équation , la norme représente la distance d'un point à cette droite, cette distance naturellement est inférieur à la distance de ce point à l'origine (qui n'est autre que la norme ).

Si vous avez des pistes, je suis preneur.

Merci

Cordialement
Mimo
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[inviteea2fb8cf]

Bonjour,

J'ai aussi remarqué une chose, si on considère la droite d'équation , la norme représente la distance d'un point à cette droite, cette distance naturellement est inférieur à la distance de ce point à l'origine (qui n'est autre que la norme ).

C'est une très bonne remarque, quoique très mal formulée.

La quantité est bien égale à la distance entre le point de coordonnées et la droite d'équation . Cependant, ceci n'est pas égal à la norme du point : n'oublie pas que l'on prend le supremum sur tout !

De fait, est la plus grande distance entre le point et une droite passant par l'origine (sauf la droite d'équation , mais on peut approcher celle-ci en prenant des paramètres de plus en plus grands). Ma proposition de preuve est donc la suivante :
* Supposons que est non nul. Peut-on trouver un paramètre tel que ? Indice : la distance entre le point et la droite doit être de , c'est-à-dire que l'origine doit être le point de la droite le plus proche de , ou encore que le projeté orthogonal de sur est l'origine.
* Traiter le cas à part.

[invitebe08d051]

* Supposons que est non nul. Peut-on trouver un paramètre tel que ? Indice : la distance entre le point et la droite doit être de , c'est-à-dire que l'origine doit être le point de la droite le plus proche de , ou encore que le projeté orthogonal de sur est l'origine.

Prendre .
En quelques sortes, est un majorant de l'ensemble des distances quand et appartient à cet ensemble.

* Traiter le cas à part.

Dans ce cas:


.

Le sup n'étant jamais réalisé pour :

.

Merci bien.

Cordialement
Mimo