Equations différentielles

[invite6844fe5f]

Bonjour,
Voilà j'ai un devoir de maths à faire pour bientôt, il est finit à l’exception d'une question...
Je dois dériver une équation du temps que mets un objet à tomber en fonction de sa vitesse, en tenant compte de la force gravitationnelle et la résistance de l'air.
Je sais que je doit utiliser les équations différentielles, et que je doit commencer de la façon suivante:

mg-Rv²=a.m

où m=masse(cste)
g=force gravitationnelle(cste)
R= Résistance de l'air(variable)
v=Vitesse(variable)
a= accélération(dérivée de la vitesse, a=dv/dt)

Le prof nous a dit qu'il ne nous donnerais tous les points à la condition que l'on utilise UNIQUEMENT la substitution suivante pour résoudre l'équation: u²=R/g.
En espérant avoir un peu d'aide.
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[silk78]

Bonjour,

Déjà quelle grandeur cherches tu à exprimer ?

Tu dis que la résistance de l'air R est variable, mais as-tu une expression qui te la donne ?
Si non, as-tu l'expression de la vitesse ?

[invite6844fe5f]

Je cherche à exprimer le temps en fonction de la vitesse,t(v)=...
Erreur de ma part, la resistance de l'air D est variable, elle est égal à D=R.v², elle est variable parce que v varie, R est en fait une constante qui prend en compte la densité de l'air, la forme de l'objet... Donc R est une constante.
Et sinon je n'ai pas d'expression pour la vitesse. Je sais que la vitesse est la dérive de la distance par rapport au temps mais est ce que cela est utile...

[Bruno]

Bah tu résous par variables séparées !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6844fe5f]

Ouais comme une équation différentielle quoi, merci...

[mc222]

salut, que la vitesse soit la dérivée de la distance par rapport au temps importe peu dans un premier temps.
Ce qui est important, c'est que a, l'accélération soit la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
Dans ce cas, tu obtient une équa diff en v et t, si tu ne sais pas résoudre, demande.

[invite6844fe5f]

En fait c'est exactement ce pourquoi je suis là. Désolé si c'était pas clair.
Je sais calculer la même équation quand v n'est pas au carré. En utilisant les equa diff et la méthode de substitution.
Mais avec ce v² je n'y arrive pas, j'ai tourné l'équation dans tous les sens, pas moyen de la résoudre. Et cette substitution u²=R/g m'embrouille plus qu'autre chose.

J'en suis au début, c'est à dire là: gm-Rv²=dv/dt.m

Je pourrais séparer les variables pour mettre les v d'un coté et le t tous seul de l'autre mais ensuite je ne trouve pas de solution n'utilisant que cette seul substitution u²=R/g.

[mc222]

ok, sauf que ici, nous somme en présence d'une équation différentielle avec second membre, la procédure de résolution ne se limite donc pas à mettre tout les v d'un coté et tout les t de l'autre et d'intégrer.
(Encore que bizarrement, cela marche si v intervient à la puissance 1, ce dont je m'étonne).

Bref, le second membre implique l'éxistance d'une solution particulière.
Le second membre est g.
Pour dire ca avec les mains, il y a deux vitesses différentes dans l'équation totale, une qui implique ton R et une autre qui implique ton g.
L'équation totale est la somme de ces deux vitesses.

Il se trouve que celle qui fait intervenir R (et non g) est exactement la même que celle que tu trouverais en résolvant l'équation sans le g.
C'est a dire en séparant les variables de manière conventionnelle.
C'est la solution générale.

Pour determiner la seconde vitesse, celle qui fait intervenir g et non R, on annule généralement la dérivée ( l'accélération) et on trouve l'autre vitesse.
C'est la solution particulière.

Il reste plus qu'a additionner les deux.
Je n'en dit pas plus pour le moment, c'est plus facile que ca en a l'air.

[silk78]

Je ne vois pas trop l'intérêt de u²=R/g, étant donné que ça donnera juste u² égal à une certaine constante ... je ne pense pas que ça aide à résoudre l'équation, mais à mon avis c'est juste comme le fait de noter omega² la constante dans l'equa diff d'un OH, ça donne une fonction solution avec pour paramètre un beau omega, tout simple ...

Je pense donc que la séparation des variables est-le plus simple moyen pour résoudre l'équation (même si j'aurais plutôt mis u²=R/gm).


Edit : je viens de voir la solution proposé par mc222, mais l'équation n'étant pas linéaire, je ne crois pas que l'on puisse utiliser les solutions particulière et homogène, si ?
En plus, il me semble que la séparation des variables aboutit pas trop difficilement.

[invite6844fe5f]

J'avais jamais entendu parler d'une méthode de ce genre, bref j'ai fait ce que tu m'as dis, j'obtient t=[m/(v-(gm/R)^1/2)*R)]-C. est ce le bon calcul ? par contre, en aucun cas je n’intègre avec la substitution u²=R/g...

[mc222]

bon je te donne la solution :



On vire g dans un premier temps:



On trouve en intégrant:



Ensuite on vire dv/dt :



et finalement:



donc :

[mc222]

j'ai inclue sans le faire expres le m dans le r, cela ne change rien a la procédure^^

[invite6844fe5f]

oui c'est exactement ce que je trouve, sauf que moi je cherche t(v) et non v(t). que fait tu de ma substitution ??? la solution m'importe peu si on intégre pas avec la substitution u²=R/g dans le calcul.

[silk78]

Hmm,

Si






donc


La méthode des solutions homogène et particulière ne marchent pas pour des équations non linéaires.


Il faut plutôt utiliser la séparation des variables je pense.

Silk

[mc222]

salut, si on utilise la séparation des variables toute bete, on tombe sur une forme arctan(v) donc v = tan(t) ce qui est incohérent à mon avis.

Mais j'ai ptet pas bien saisi, montre nous ta méthode, ca fait longtemps que j'ai acquis cette solution (celle que j'ai proposé) mais finalement, je n'en suis pas si sure que ca.

[Bruno]

La séparation des variables n'est pas possible à cause du . Si le problème est bien à 1 dimension, il suffit de poser a=x'' et v=x' et de résoudre



Mais on ne peut pas résoudre par somme d'une solution générale et d'une solution particulière à cause de la non linéarité..

[deyni]

Il me semble que ce soit une equation de Bernouilli:
si on pose y=v; a=y';

y'=ay+by^p; où a et b sont des fonctions de x; p=2
on a

y'/y^p=a/(y^(p-1))+b

On pose z=1/(y^(p-1)); on a

-z'/(p+1)=a(x)*z+b(x)
que tu sais resoudre.

[Bruno]

Non, il n'y a pas de terme indépendant dans Bernouilli.

[silk78]

Voilà ce que je propose, dites moi si je me trompes :



D'où, en posant a²=R/mg :



On intègre de 0 à t et on note v(t=0)=v₀:



On pose x=av, d'où dv=dx/a, soit :



Soit :



Du coup on obtient t en fonction de v. De plus, si on revient à la forme logarithmique d'argth ou qu'on utilise th, on peut réexprimer v en fonction de t.

Silk

Edit : à mc222, ici on a -v² donc c'est pas de la tan mais du th hein, et il me semble qu'on a bien th'(x)=1-th²(x)

Edit2 : je viens aussi de penser que tu n'as peut-être pas vu les fonctions hyperboliques comme th groundation, si c'est le cas dis-le, on peut faire tous les calculs précédent sans ces fonctions

[mc222]

ca alors, très intérressant ca, tu vien de boulverser ma vision des équa diff !

Très bien vue la tangente hyperbolique, en imaginant son graphe, ca marche, bravo.

[silk78]

Par contre, c'était trop rapide en fait, parce qu'il faut discuter de l'intervalle sur lequel se trouve a*v, notamment savoir si |av| <1 ou >1.
argth est défini de sur ]-1;1[ donc si |av|<1, ma méthode marche, si |av|>1, il faut faire un changement de variable en y=1/x pour se ramener de nouveau à une argth.
Le cas où v=1/a, correspond je pense au moment où mg-Rv² s'annule et donc à un régime permanent où v est constante, facile à traiter.

Silk


Edit : le mieux serait je pense de démontrer que si |av₀|<1 alors pour tout t : |av(t)|<1 et de même pour le cas >1.