convergence uniforme

[inviteb8f38dc5]

Voici le corrige d'un exercice que je ne comprend pas :


Considérons fn:[ 0,1 ]→R définie par fn(t)=t^n.
fn→[ 0,1 ] CS vers f avec f(t)={ 0 si t∈ [ 0,1 [ et 1 si t=1 .
δn(t)=fn(t)−f(t)={ tn si t∈ [ 0,1 [ et 0 si t=1 .

‖ fn−f ‖∞=1 ne tend par 0 donc (fn) ne converge pas uniformément.
Cependant pour a∈ [ 0,1 [ ,
‖ fn−f ‖∞,[ 0,a ]=an→0 donc fn→ CU vers 0. sur [0,a]

Je ne comprend pas pourquoi

1) dans la fonction fn - f on a pas t^n - 1 si t= 1 ou alors ( si on a 0 pour t = 1 on aurait du avoir 0 egalement pour t dans [0,1] )

2) comment faire pour caculer ‖ fn−f ‖∞,[ 0,a ]

Merci d'eclairer ma lanterne .
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[Bruno]

Bonjour,

1) Parce qu'on cherche à déterminer la convergence uniforme de f sur [0,1] et non la convergence de la suite définie par f restreinte à t=1

2) En appliquant la définition de la norme suprémum :

avec

[invite0931ef5e]

2) |fn-f|infini = |fn-0|infini = |fn|infini sur [0,a] a <1
fn est croissante par rapport à t donc le sup est en a
si a = 1 tu as fn(1)-f(1)=1-1=0 < t^n pour tout t de [0,1[
on voit que le sup est le t le plus proche de 1 possible toujours par croissance de fn par exemple fn(racinenième de 0,9)=0,9 fn(racinenième de 0,9999)=0,9999

[inviteb8f38dc5]

Bruno je ne comprend pas trop ton explication concernant le 1) peut tu etre plus expicite sil te plait.

[A voir en vidéo sur Futura]