Equations différentielles

**mc222** · 13/06/2009, 22h28

Salut les matheux

J'ai suivie en cours de maths, j'ai fouillé wiki mais je ne comprend toujours pas un truk:

Qu'est-ce que les équations différencielles ?

Je ne comprend pas le principe mais quelque chose me dit que ca peu etre un chouette outil mathématique notament en physique comme les integral j'imagine , donc éclairé moi svp

merci d'avance !

**fiatlux** · 14/06/2009, 02h12

salut,

une équation différentielle, c'est par exemple une équation donc l'inconnue (ou les inconnues) est présente à différents degrés de différentiation. Par exemple la fameuse équation de la cinétique sur le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) est une équation différentielle:
$\text{[math]}$
En effet, la variable $\text{[math]}$ (la position) se trouve à différents degrés de différentiation:
$\text{[math]}$ : degré nul de différentiation.
$\text{[math]}$ : degré 1 de différentiation (vitesse = dérivée de la position)
$\text{[math]}$ : degré 2 de différentition (accélération = dérivée seconde de la position)
D'où le fait que cette équation est une équation différentielle en $\text{[math]}$

Et c'est plus qu'un "chouette outil", les équations différentielles, c'est la base de la base de la physique classique (merci à Newton)

invite34b13e1b · 14/06/2009, 07h20

Pour complèter:
Quand tu cherches les solutions d'une équation, tu cherches un nombre qui vérifie une égalité.
Et bien, quand tu résouts une équation différentielle tu cherches une fonction qui vérifie une égalité.

L'intérêt en mécanique par exemple c'est de pouvoir appliquer le PFD qui met en jeu l'accélération et les forces qui s'appliquent sur un solide: tu trouveras la fonction qui régit le mouvement de ton solide.
Mais c'est aussi utilisé en:
_cinétique chimique (étude de la vitesse de réaction)
_thermodynamique
_electricité (notamment dans un circuit avec condensateurs et bobines OA et tout ce que tu connaîs...)

inviteed5cf7ab · 14/06/2009, 07h36

Ou bien même en électricité. Il y a une semaine je n'arrivais pas à voir le lien entre les equadiff en Physique et en maths. Maintenant j'ai compris:

En maths mon prof me disait:
y'=ay + b
Les solutions sont y(x)=ke^ax-b/a

et en physique je pigeais pas trop trop le truc. Mais quand mon prof de maths m'a expliquer la physique avec le cour de maths, j'ai tout tout capté:

exemple:

On a une maille dans un circuit RC

E=u_c+u_r

u_c et u_r respectivement La tension aux bornes du condensateur et la tension aux bornes de la résistance.

Tout commence à partir de là:

u_r=RI
I= dq/dt
q=C.u_c

ainsi:
E=u_c+RI
E=u_c+R.dq/dt
E=u_c+RC.(du_c /dt)

Et là un petit tour de passe passe:

RC.(du_c /dt) = E - u_c

du_c /dt = (E - u_c)/RC

Et là tu dois reconnaitre quelque chose...
Enfin plutot comme ça:

du_c /dt = - u_c/RC + E/RC

du_c /dt = -(1/RC)*u_c + E/RC

on a:

y'=-(1/RC)y + E/RC
y'= ay + b

Moi ce que je fais en général c'est que je remplace:

du_c/dt par y' (c'est la dérivée)
et
u_c par y

et donc:
Les équations solutions sont:

y(x)=ke^(-1/RC)x+(E/RC) / (-1/RC))
y(x)=ke^(-1/RC)x+E
(En elec, x c'est la variable t du temps)

Mais comme on doit garder les mêmes notations qu'au début:

u(t)=ke^(-1/RC)t+E

Et on peut même remplacer RC par To(la lettre greque) car RC=To

voili voulou

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mc222** · 14/06/2009, 09h43

ok mais quelque truk m'échappent encore:

pourkoi : duc /dt = uc' ?

ensuite que représente E ?

invite34b13e1b · 14/06/2009, 10h00

E est la tension au borne du générateur.
Tel quel il semblerait que E soit une constante (en Volt...)

inviteed5cf7ab · 14/06/2009, 12h36

oui, la dérivée de uc c'est du/dt

**fiatlux** · 14/06/2009, 14h56

c'est peut-être la notation qui te dérange...

Quand on écrit $\text{[math]}$ (par exemple), ça veut dire dérivée de $\text{[math]}$ par rapport à $\text{[math]}$ , autrement dit:
$\text{[math]}$

**mc222** · 14/06/2009, 17h23

ok , donc du/dt ca veu dire que tu dérive la tension par rapport au temps nan?

**fiatlux** · 14/06/2009, 18h42

Envoyé par mc222

ok , donc du/dt ca veu dire que tu dérive la tension par rapport au temps nan?

c'est exact

**mc222** · 14/06/2009, 22h43

ok merki !

invitedb2255b0 · 17/06/2009, 02h15

Oui d'ailleurs tu peut trouver que k=E car tu sais que uc(0)=0 dans le cas de la charge et uc(0)=E dans le cas de la decharge.

E c'est la tansion délivré par le générateur ^^.

uc(0)=0 (dans cas de la charge donc) on a donc
k+E=0
k=(-E)
Donc ca donne: uc(t)=E(1-e(-t/to))
Merveilleux non ?

**mc222** · 17/06/2009, 10h35

plus dur:
si j'ai: a = g - [(rho . c . s . V²)/2m]

comment relier le a et le V² ?

invitecf153f02 · 17/06/2009, 12h01

merci beaucoup

invitedb2255b0 · 17/06/2009, 14h15

Envoyé par mc222

plus dur:
si j'ai: a = g - [(rho . c . s . V²)/2m]

comment relier le a et le V² ?

Dit nous ce que représente toutes ces lettre, quelles sont les constante, les variable toussa.

invite93845cf6 · 17/06/2009, 14h22

Salut,

En terminale, on étudie pat-exemple la charge d'un condensateur dans un circuit en série contenant donc un condensateur, une résistence et un générateur.

D'après la loi d'additivité des tensions on a:

$\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est la tension délivrée par le générateur.

invite93845cf6 · 17/06/2009, 14h39

Salut,

En terminale, on étudie par-exemple, en électricité, la charge d'un condensateur dans un circuit en série contenant donc un condensateur, une résistence et un générateur.

D'après la loi d'additivité des tensions on a:

$\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est la tension délivrée par le générateur.

Ce qui donne:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

C'est une équation différentielle du type : $\text{[math]}$ .
Ses solutions de la forme: $\text{[math]}$

Donc, cela nous donne:

$\text{[math]}$

On trouve $\text{[math]}$ suivant les conditions del'exprérience. Lorsque $\text{[math]}$ , la tension aux bornes du condensateur est nulle donc $\text{[math]}$ .
D'autre part, d'après la solution trouvée ci-dessus on a :

$\text{[math]}$ .

D'où: $\text{[math]}$ .

La solution finale est : $\text{[math]}$ ,

Soit: $\text{[math]}$ .

Voilà un exemple d'utilisation des équations différentielles.

invite93845cf6 · 17/06/2009, 14h41

Envoyé par SebMC12

Salut,

En terminale, on étudie par-exemple, en électricité, la charge d'un condensateur dans un circuit en série contenant donc un condensateur, une résistence et un générateur.

D'après la loi d'additivité des tensions on a:

$\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est la tension délivrée par le générateur.

Ce qui donne:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

C'est une équation différentielle du type : $\text{[math]}$ .
Ses solutions de la forme: $\text{[math]}$

Donc, cela nous donne:

$\text{[math]}$

On trouve $\text{[math]}$ suivant les conditions del'exprérience. Lorsque $\text{[math]}$ , la tension aux bornes du condensateur est nulle donc $\text{[math]}$ .
D'autre part, d'après la solution trouvée ci-dessus on a :

$\text{[math]}$ .

D'où: $\text{[math]}$ .

La solution finale est : $\text{[math]}$ ,

Soit: $\text{[math]}$ .

Voilà un exemple d'utilisation des équations différentielles.

Ah mince, dsl j'avais pas vu que ca avait été déjà dit

Equations différentielles