Limite (1+x)e^(-x) en +oo

[invite243994aa]

Bonjour, je n'arrive pas a trouver la limite de
(1+x)e^-x en +oo

Merci
-----

[mx6]

Si tu developpes, je crois que tu trouveras facilement.

[fiatlux]

souviens-toi d'une chose, c'est qu'une exponentielle comme e^x tend plus vite vers l'infini que x.... ça devrait t'aider

[invite243994aa]

ça je sais mais je peux pa mettre ça sur ma copie, ya rien de scientifique là de dans. Quand je développe j'ai encore une forme indéterminé, e^(-x) +xe^(-x)
xe^(-x) en +oo est une FFI
.....

[A voir en vidéo sur Futura]

[fiatlux]

alors utilise le théorème de Bernouilli-l'Hospital.
Il faut d'abord de ramener à une forme indéterminée du genre zéro sur zéro ou l'infini sur l'infini. Ensuite le théorème il dit:

Pour te ramener à une forme infini sur infini par exemple tu écris tout simplement:

[lawliet yagami]

si tu as vu le cours sur les croissances comparées alors tu peut le marquer dans ta copie car ce sont des limites qui doivent être su.

[Flyingsquirrel]

alors utilise le théorème de Bernouilli-l'Hospital.

Il est hors programme.

[fiatlux]

Il est hors programme.

C'est un scandale C'est le premier théorème qu'on devrait apprendre, celui-là, avant celui de pythagore

[invite243994aa]

je peux écrire avec des connaisances de fin de terminale lim x/e^x en +oo = 0
sans me faire allumer par le prof du style " c écri ou dans le cours " ou "pas démontré" ??

[fiatlux]

difficile de te répondre vu que je suis suisse et que je sais meme pas ce qu'est la terminale (on a d'autres noms), mais si tu lui écris que la croissance exponentiellle croît plus rapidement que la croissance linéaire, ça devrait suffire.

[invite243994aa]

je viens de regarder un corrigé, ils écrivent lim x/e^(-x) en +oo = 0 donc je pense que c'est bon , je vais faire comme ça je vais l'écrire.
Merci

[Universus]

Salut,

En lisant ce fil, l'idée suivante m'est venue. Il ne s'agit de rien d'enseigné pour autant que je sache, sûrement parce que cela correspond aux autres méthodes (du genre de la règle de l'Hospital) qui sont elles des techniques plus rigoureuses et systématiques. J'écris donc surtout pour voir si vous pensez que ce serait le genre de raisonnement acceptable en examen si on oublie soudainement l'Hospital ou autre.

On a et on cherche la limite de cette fonction pour x tendant vers l'infini positif. Étant donné qu'il s'agit a priori d'une forme indéterminée, on peut chercher à savoir comment se comporte pour x très grand. On cherche donc la dérivée de f, soit . Étant donné la «distributivité» d'une limite sur une somme et la limite de pour x très grand, on a :



Ainsi, supposons que converge* vers une valeur C finie et non nulle, alors on a que la pente de pour x très grand est non nulle aussi et donc que ne converge pas vers C. De plus, même si la valeur de C tendait elle-même vers un infini, le signe « - » de l'équation ci-dessus indique que la fonction a tendance à croître ou décroître à l'infini d'une façon qui empêche de pouvoir atteindre une valeur infinie de C.

Bref, la seule valeur qui semble fonctionner pour l'équation précédente, c'est que la limite de f pour x très grand soit nulle.

*Étant donné les propriétés de (1+x) et de exp(-x), si f(x) ne diverge pas vers un infini, alors elle converge ; elle ne peut pas diverger à l'infini d'un façon par exemple similaire à sin(x)

[danyvio]

Pourquoi ne pas passer par log[(1+x)e^-x]=log(1+x) - x

[mx6]

Effectivement plus simple, mais un ln au lieu de log sera plus commode ^^

[hhh86]

Bonjour, je n'arrive pas a trouver la limite de
(1+x)e^-x en +oo

Merci

La seule façon rigoureuse de démontrer que la limite de (1+x)e^-x en +oo est 0 est d'utiliser le théorème de l'Hopital.
S'il est hors programme en Terminal, il est très facile à démontrer avec les outils de Terminal.

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I
Soit x un réel de I
On a donc lim(h-->0)(f(x+h))=f(x) et lim(h-->0)(g(x+h))=g(x)
La suite découle de source

[Flyingsquirrel]

La seule façon rigoureuse de démontrer que la limite de (1+x)e^-x en +oo est 0 est d'utiliser le théorème de l'Hopital.

Ah bon ?

[fiatlux]

alors utilise le théorème de Bernouilli-l'Hospital.
Il faut d'abord de ramener à une forme indéterminée du genre zéro sur zéro ou l'infini sur l'infini. Ensuite le théorème il dit:

Pour te ramener à une forme infini sur infini par exemple tu écris tout simplement:

La seule façon rigoureuse de démontrer que la limite de (1+x)e^-x en +oo est 0 est d'utiliser le théorème de l'Hopital.

Ah bon ?

Oui, effectivement

[invite2c627652]

Bonjour, jai besoin d'aide pour une limite:

Celle de: xexp(x)-exp(x) en +oo
Merci

[invitef1b93a42]

Salut, il suffit de factoriser.

[invite55dcb7a8]

tu mets l'exp en facteur et après tu auras du +oo * +oo donc voilà...

[lawliet yagami]

salut,
il suffit de mettre exp en facteur

edit: j'avais pas qu'on avait déjà répondu><

[nicom974]

grace à vous je viens de découvrir la règle de l'hospital (bernouilli), je suis conquis. C'est super rapide et facile à utiliser.

Merci

au fait, c'est à quel niveau d'étude qu'on voit ça?

[fiatlux]

personnellement je l'ai appris quand j'avais 18 ans (je sais pas à quel niveau d'études ça correspond, je suis suisse, c'est pas pareil qu'en France...y'a pas de "terminal" et autres...)

[VegeTal]

En fait, cette règle tu l'utilises defois en terminal sans le dire

Par exemple si tu veux trouver :



=



en posant et v(x) = sin(x)-...

[nicom974]

Dommage, mon prof vient de me dire que comme c'est pas au programme de terminale, lorsque je le mets sur ma copie de bac je dois démontrer la règle de l'hopital, autrement dit faire une ou deux pages de démonstration...
hihihi, je crois que je vais me contenter des bonnes vieilles factorisations... lol

Euh, Vegetal, idem, j'ai 18 et je suis en terminale, il faut croire qu'on est au même niveau d'étude.

PS: a part que quelqu'un arriverait à démontrer bernouilli en quelques lignes.

A+

[nicom974]

Euh, Vegetal, idem, j'ai 18 et je suis en terminale, il faut croire qu'on est au même niveau d'étude.

A+

Excusez moi, je voulez parler à fiatlux et non à VegeTal, vous l'aurez compris

[VegeTal]

Dommage, mon prof vient de me dire que comme c'est pas au programme de terminale, lorsque je le mets sur ma copie de bac je dois démontrer la règle de l'hopital, autrement dit faire une ou deux pages de démonstration...
hihihi, je crois que je vais me contenter des bonnes vieilles factorisations... lol

Euh, Vegetal, idem, j'ai 18 et je suis en terminale, il faut croire qu'on est au même niveau d'étude.

PS: a part que quelqu'un arriverait à démontrer bernouilli en quelques lignes.

A+

relis mon message c'est exactement la règle de l'hopital appliqué à un exemple, sinon la démonstration prend effectivement 3 lignes dans le cas général.

[fiatlux]

Euh, Vegetal, idem, j'ai 18 et je suis en terminale, il faut croire qu'on est au même niveau d'étude.
Excusez moi, je voulez parler à fiatlux et non à VegeTal, vous l'aurez compris

J'ai écris "quand j'avais 18 ans"

[invitedb2255b0]

Si justement. Ce sont des limites que le programme de mathématique en TS considère comme Usuelle (Et tu es sencer avoir écrit par conséquent dans ton cours sur la fonction exponentielle que: =0 et que )

En effet cela se démontre de la manière suivante (et pour ta gouverne c'est un ROC qui est au programme ):


Or
Donc
Donc
Donc

Le délire, c'est qu'il faut alors démontrer que:
et que pour cela il faut se servir de la limite démontrer précedemment ...
Bref dans la croissance comparé, les 4 limites (,, et ) s'utilise les une les autres pour se démontrer, ou en tous cas c'est comme ça qu'on les a démontrer dans mon cours.
C'est assez paradoxale oui ... on est à a limite de l'admis, mais bon ...

[invitedb2255b0]

Effectivement ce théorème m'as l'air assez sympatique Dommage qu'il ne soit pas au programme ... ca pourrais tellement facilité la vie