Bonsoir,
Soit f une fct de Q dans R k-lipschitzienne . Je dois montrer qu'elle admet un prolongement unique ( j'ai pu le faire ) . et qu'il est k-lipschitzien !!
J'ai procédé comme suis :
Nous savons que Q est dense sur R, et prolongement de f est continue sur R donc
Soit l' irrationnel i on a :
lim x->0+ f(i+x) = f(i) (1) , par la densité de Q j'ai considérer i+x comme rationnel
De même pour un autre irrationnel j .
Et on a ce résultat :
Pour p et t rationnels :
l f(p) - f(t) l =< k l p-t l
Donc pour p = i+x et t = j+x on obtient par (1)
l f(i) - f(j) l =< k l i-j l
et ce pour tout les irrationnels .
CQFD
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