Matrices symétriques et orthonales...

[inviteeb3ff208]

Bonsoir !

Je me permet de vous demander un peu d'aide parce que je suis en train de faire un exercice et je n'arrive pas à montrer une implication...

Soient Omega une matrice orthogonale et A une matrice carrée de taille n symétrique positive.

Montrer que :
Si (A|Omega)=(A|In) alors A=A*Omega en sachant que (A|B)=tr(A^tB)

Sincèrement je n'ai aucune idée de comment partir, j'ai essayé avec les éléments avec les traces... Mais je n'y arrive pas alors si vous avez une petite idée ! Merci beaucoup de votre réponse.
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[invitea6f35777]

Salut,

Il suffit de montrer le résultat pour des matrices diagonales positives. En effet, en supposant le résultat vrai pour des matrices diagonales positives, comme est symétrique est elle orthodiagonalisable à valeurs propres réelles:

avec une matrice orthogonale et une matrice diagonale positive. On a alors

Et est bien une matrice orthogonale puisque les matrices orthogonales forment un groupe stable par transposition. On a alors (par hypothèse)


Suppose donc (les étant positifs ou nuls). On a alors

En notant la ème ligne de la ème ligne de est et on a donc en notant les coefficients de

et donc

à partir de là le travail n'est pas terminer, il faut maintenant utiliser l'hypothèse que est orthogonale.

Que peux tu dire du signe de ?

[inviteeb3ff208]

Ok je comprends ce que tu veux dire, j'ai été obligé de rentre mon DM plutôt que prévu mais j'avais réussit à montrer que ca marchait pour une matrice diagonale positive. Après pour la fin je ne suis pas sur d'avoir tout compris mais je pense !

Je te remercie de ta réponse !