Bonjour, j'ai un dm à faire et j'aimerai que vous m'éclaircissiez sur les questions que je n'ai pas réussit à faire.
1/Déterminer le groupe des inversible de Z/10Z.
2/Déterminer les générateurs du groupe (Z/28Z,+)
Peut on affirmer :
3-U(A) est un sous groupe additif de l'anneau A ?
4-La seule partie de A qui soit à la fois un sous-anneau et un idéal est A lui-même ?
Merci de votre aide.
L'élément nul est-il inversible?Envoyé par jules345
A est le seul idéal de A qui contient l'élément unité.
Bonjour,
1) Les inversibles dans Z/10Z sont les réguliers donc les x tels que quelque soit y, xy=0 => y=0
2) question équivalente à la précédente ... à peu près je pense
3) 1 est inversible dans Z mais 1+1 ne l'est pas alors que 1x1 l'est devine donc quelle est la structure de U(A)
4) Si I est un anneau alors il contient 1, et si il est un idéal qui contient 1 que peut on en dire ?
3/Non 0 n'est pas inversible mais 0 n'appartient pas à U(A) non ?
et pour 4 en fait le fait que A soit un sous anneau fait qu'il contient l'élément unité donc c'est vraie ?
Un sous-groupe additif qui ne contient pas 0, ça sonne bizarre...
Ok c'est parce que c'est l'élément neutre. Mais pour 1 je ne comprend pas en fait je pensais faire la liste des élément inversibles.
En fait je ne comprend pas comment tu fais pour le 1 et le 2 par exemple pour moi un élément inversible x vérifie x^10=1 ou ^ est le pgcd.
Oui, c'est ca. Par conséquent, il n'est pas très difficile de trouver ces fameux éléments inversibles, c'est-à-dire d'en faire la liste, comme tu le proposais plus haut.
Mais le raisonnement de RoBeRTo-BeNDeR reste il juste ? Quelqu'un pourrait me l'expliquer car il a l'air d'être plus rapide. Et au fait dans mon cas x varie de 1 à 10 ?
en fait dire que x^10=1 reviens à dire que x est régulier. Enfin en gros si tu prends tous les multiples kx de x avec k allant de 1 à 9 et que ceux ci ne sont pas des multiples de 10 alors tu sais que x est inversible.
par exemple 1 et 3 et 7 et 9 sont inversibles dans Z/10Z
car il n'y a pas de multiples de 1,3,7 et 9 qui valent un multiple de 10.
ou alors tu peux remarquer que 3*7=21=1 alors 7 et 3 sont inversibles et
9*9=81=1 donc 9 est inversible!
et 2, 4, 5,6,8 ne le sont pas car 2*5=10, etc ...
RoBeRTo
Ok ben merci mais est ce une notion au programme de 2e année de cpge parce que dans mon cours il n'y a aucun paragraphe qui parle de régulier pourtant on a fini le chapitre ??? et pour le 2/ cette fois ci je dois faire le même raisonnement ?
Ah peut être en même temps je n'ai pas étudié les anneaux quotients en 1ère année de prépa. juste un peu en 2ème année. Et cette propriété viens de mon cours de cette année en L3
Ah ok d'accord, je commençais à avoir peur, et pour la question 2 je fais donc le même raisonnement ?
Ben je ne vois pas trop ce que veut dire générateur pour une addition alors je préfère ne pas dire de bêtisesmais je dirai quand même que si a est un générateur de B pour l'addition si tout élément de B peut être écrit sous la forme n.a . Par exemple je dirai que 1 est un générateur de Z/28Z, peut être 3,5,9,11,13,15,17,19,23,25,27 mais sans être 100% sûr
