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Fonction logarythme



  1. #1
    piervic1

    Fonction logarythme


    ------

    Bonjour,

    Je dois étudier la fonction suivante et établir le tableau de varation:
    gx=(lnx/x) + 1/x +2x-2

    J'ai déterminé la dérivée mais je n'arrive pas à aller plus loin (signe de la dérivée):
    (lnx-2x2)/x2

    Est ce que vous pourriez m'aider

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    On appelle h(x) le numérateur de la dérivé de g, et on étudie les variations de la fonction h pour déterminer son signe.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    Merci pour votre réponse et votre humour mais comment on détermine h(x) ?

  4. #4
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    Citation Envoyé par piervic1 Voir le message
    J'ai déterminé la dérivée mais je n'arrive pas à aller plus loin (signe de la dérivée):
    (lnx-2x2)/x2
    On prend pour h(x) le numérateur de cette dérivée.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    J'ai bien compris le principe de la détermination du signe de h(x)
    Mais cela m'oblige à résoudre l'équation -lnx-2x2=0 ( ou lnx+2x2=0)
    ( j'ai corrigé une erreur dans le calcul de la dérivée g'(x))
    Et je n'arrive pas à résoudre cette équation
    (2x2 = 2 x au carré)

  7. #6
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    Et je te répète que tu dois poser , puis étudier les variations de la fonction , la résolution de l'équation viendra plus tard, et il n'est pas question de la résoudre de façon explicite..
    Il me semble que ta dérivées est toujours fausse, si tant est que la fonction initiale soit bien définie par .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    La dérivée est, pour moi, égale à :
    (1-lnx)/x2 -1/x2+2=(1-lnx-1-2x2)/x2=-(lnx-2x2)/x2
    Je ne vois pas comment on peut étudier les varitions de h(x) sans déterminer les valeurs qui annulent h(x) ( à moins de déterminer la dérivée h'(x)?)

  9. #8
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    Cette fois, c'est la bonne dérivée.
    Oui : on étudie h en calculant h', c''est la méthode usuelle...
    Déterminer les valeurs qui annulent h(x) ne servent pas à grand chose en ce qui concerne les variations.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  10. #9
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    La dérivée h'(x) =-(1/x+ 4x) =-(4x2+1)/x
    Si x<0 h(x) croissant et si x>0 : h(x) décroissant

    Mais est ce qu'il est aussi possible de dire que les variations de f(x) sont indentiques à h(x) ?

  11. #10
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    Si , alors .

    Tu dois donc étudier , pas .

    De plus, si x<0, h n'est pas définie à cause du logarithme.

    Ensuite, il faut faire un tableau de variations complet de h, avec les valeurs de h aux points particuliers.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #11
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    Résumé et correction:
    gx=(lnx/x) + 1/x +2x-2

    La dérivée g'(x) est égale à :
    (-1-lnx)/x² -1/x²+2=(-1-lnx-1+2x²)/x2=-(lnx-2x²)/x²

    Pour étudier la varation de g'(x), il faut déterminer le signe de:
    h(x)= lnx-2x²

    Dérivée de h(x)= lnx-2x² =1/x -4x=(1-4x²)/x=((1-2x)(1+2x))/x

    x>0

    Si x<1/2 , h'(x) positif et h(x) croissant ( et g’(x) décroissant)
    Si x>1/2, h'(x) négatif et h(x) décroissant ( et g’(x) croissant)

    Mais je n'ai pas compris comment il faut faire, à partir de ces résultats, pour déterminer la variation de g(x)

  13. #12
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    Citation Envoyé par piervic1 Voir le message
    Si x<1/2 , h'(x) positif et h(x) croissant ( et g’(x) décroissant)
    Si x>1/2, h'(x) négatif et h(x) décroissant ( et g’(x) croissant)
    Attention, tu ne peux pas connaître le sens de variation de g' à partir du sens de variation de h.

    D'après les variations, h présente un maximum en x=1/2 : quelle est la valeur de ce maximum ? Quel est le signe de h ? Quel est le signe de g' ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #13
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    Si x = 1/2, h(x)=ln(1/2) + 2(1/2)²=0,693-0,5=0,193

    g'(x) = -(h(x))/x² ( x²>0 et - négatif)

    Si on connait le signe de h'(x), on peut connaitre le sens varation de h(x) et donc aussi de g'(x)

    Donc:
    Si x<1/2 , h'(x) positif et h(x) croissant et g’(x) décroissant
    Si x>1/2, h'(x) négatif et h(x) décroissant et g’(x) croissant

    Mais, si je ne me suis pas trompé pas, je ne vois donc toujours pas comment on détermine le sens de g(x)

  15. #14
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    Ta valeur de h(1/2) est fausse.
    Tu confonds en permanence , , .
    Il faut être plus attentif.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  16. #15
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    Peu importe que ma valeur de h(1/2) soit bonne ou fausse, je verifierai les calculs après.
    Mais ce que j'ai besoin de savoir c'est comment on détermine la variation de g en fonction de g'

  17. #16
    God's Breath

    Re : Fonction logarythme

    Pour déterminer le sens de variation de g, il te faut connaître le signe de g'.
    Pour connaître le signe de g', il te faut connaître le signe de h.
    Pour connaître le signe de h, il suffit d'établir correctement et complètement le tableau des variations de H.

    Et tout ça sans erreur de calcul.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  18. #17
    piervic1

    Re : Fonction logarythme

    Merci

    Pour connaitre le signe de g, il faut effectivement connaitre le signe de g' et pour g' c'est plus facile de passer par g'' que par h
    Et en faisant moins d'erreur.(g"(x)=(2lnx-1)/x³)

    Par contre la suite du problème n'est très claire pour moi
    On demande de démontrer que g(x) =0 a une solution unique dans l'intervalle (1/2;1) et qu'il faut donner un encadrement d'amplitude 10²

  19. #18
    breukin

    Re : Fonction logarythme

    Essayons de synthétiser :


    (J'ai changé h pour éviter de se coltiner des signes - en plus)

    Donc pour et pour
    Donc est décroissante pour et croissante pour
    Elle admet un minimum en . Ce minimum vaut
    Donc et et est strictement croissante.

    N'hésitez pas à dessiner les fonctions pour en induire ce qu'il convient de démontrer.

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