Bonjour,
Je dois étudier la fonction suivante et établir le tableau de varation:
gx=(lnx/x) + 1/x +2x-2
J'ai déterminé la dérivée mais je n'arrive pas à aller plus loin (signe de la dérivée):
(lnx-2x2)/x2
Est ce que vous pourriez m'aider
Merci d'avance
On appelle h(x) le numérateur de la dérivé de g, et on étudie les variations de la fonction h pour déterminer son signe.
Merci pour votre réponse et votre humour mais comment on détermine h(x) ?
On prend pour h(x) le numérateur de cette dérivée.Envoyé par piervic1
J'ai bien compris le principe de la détermination du signe de h(x)
Mais cela m'oblige à résoudre l'équation -lnx-2x2=0 ( ou lnx+2x2=0)
( j'ai corrigé une erreur dans le calcul de la dérivée g'(x))
Et je n'arrive pas à résoudre cette équation
(2x2 = 2 x au carré)
Et je te répète que tu dois poser, puis étudier les variations de la fonction
Il me semble que ta dérivées est toujours fausse, si tant est que la fonction initiale soit bien définie par
La dérivée est, pour moi, égale à :
(1-lnx)/x2 -1/x2+2=(1-lnx-1-2x2)/x2=-(lnx-2x2)/x2
Je ne vois pas comment on peut étudier les varitions de h(x) sans déterminer les valeurs qui annulent h(x) ( à moins de déterminer la dérivée h'(x)?)
Cette fois, c'est la bonne dérivée.
Oui : on étudie h en calculant h', c''est la méthode usuelle...
Déterminer les valeurs qui annulent h(x) ne servent pas à grand chose en ce qui concerne les variations.
La dérivée h'(x) =-(1/x+ 4x) =-(4x2+1)/x
Si x<0 h(x) croissant et si x>0 : h(x) décroissant
Mais est ce qu'il est aussi possible de dire que les variations de f(x) sont indentiques à h(x) ?
Si
Tu dois donc étudier
De plus, si x<0, h n'est pas définie à cause du logarithme.
Ensuite, il faut faire un tableau de variations complet de h, avec les valeurs de h aux points particuliers.
Résumé et correction:
gx=(lnx/x) + 1/x +2x-2
La dérivée g'(x) est égale à :
(-1-lnx)/x² -1/x²+2=(-1-lnx-1+2x²)/x2=-(lnx-2x²)/x²
Pour étudier la varation de g'(x), il faut déterminer le signe de:
h(x)= lnx-2x²
Dérivée de h(x)= lnx-2x² =1/x -4x=(1-4x²)/x=((1-2x)(1+2x))/x
x>0
Si x<1/2 , h'(x) positif et h(x) croissant ( et g’(x) décroissant)
Si x>1/2, h'(x) négatif et h(x) décroissant ( et g’(x) croissant)
Mais je n'ai pas compris comment il faut faire, à partir de ces résultats, pour déterminer la variation de g(x)
Attention, tu ne peux pas connaître le sens de variation de g' à partir du sens de variation de h.
D'après les variations, h présente un maximum en x=1/2 : quelle est la valeur de ce maximum ? Quel est le signe de h ? Quel est le signe de g' ?
Si x = 1/2, h(x)=ln(1/2) + 2(1/2)²=0,693-0,5=0,193
g'(x) = -(h(x))/x² ( x²>0 et - négatif)
Si on connait le signe de h'(x), on peut connaitre le sens varation de h(x) et donc aussi de g'(x)
Donc:
Si x<1/2 , h'(x) positif et h(x) croissant et g’(x) décroissant
Si x>1/2, h'(x) négatif et h(x) décroissant et g’(x) croissant
Mais, si je ne me suis pas trompé pas, je ne vois donc toujours pas comment on détermine le sens de g(x)
Ta valeur de h(1/2) est fausse.
Tu confonds en permanence
Il faut être plus attentif.
Peu importe que ma valeur de h(1/2) soit bonne ou fausse, je verifierai les calculs après.
Mais ce que j'ai besoin de savoir c'est comment on détermine la variation de g en fonction de g'
Pour déterminer le sens de variation de g, il te faut connaître le signe de g'.
Pour connaître le signe de g', il te faut connaître le signe de h.
Pour connaître le signe de h, il suffit d'établir correctement et complètement le tableau des variations de H.
Et tout ça sans erreur de calcul.
Merci
Pour connaitre le signe de g, il faut effectivement connaitre le signe de g' et pour g' c'est plus facile de passer par g'' que par h
Et en faisant moins d'erreur.(g"(x)=(2lnx-1)/x³)
Par contre la suite du problème n'est très claire pour moi
On demande de démontrer que g(x) =0 a une solution unique dans l'intervalle (1/2;1) et qu'il faut donner un encadrement d'amplitude 10²
Essayons de synthétiser :
(J'ai changé h pour éviter de se coltiner des signes - en plus)
Donc
Donc
Elle admet un minimum en
Donc
N'hésitez pas à dessiner les fonctions pour en induire ce qu'il convient de démontrer.
