suite de cauchy ...

[inviteaa7fccc7]

Bonsoir a tous, voila j'ai un exercice ou je comprend pas tres bien ma correction et j'aimerai votre aide si possible pour savoir comment le résoudre.

voila l'ennoncé :
Soit (un)n∈IN une suite reelle telle que ∀n ∈ IN,
|un+1 − un | ≤ 3^(−n) . Montrer que (un ) est une suite de Cauchy. Est-elle convergente ?

Alors le prof possède d'une facon dont j'ai plus ou moins compris la démarche, mais pas trop le but il transforme un+1 - un en passant par la somme, et au final il arrive a une inégalité qui est |un+1 − un | ≤ (1/2)*((1/3)^n-1)*[1 - (1/3)^p] Et il dit que ca tend vers 0.

Pour résoudre l'exercice on peu pas tout simplement faire :

|un+1 − un | ≤ 3^(−n) => |un+1 − un | ≤ 1/3^n et donc 1/3^n -> 0 en + infini ce qui implique qu'a partir d'un certain rang il existe un E>0 tel que pour tout n |un+1 − un |< E et ceci implique que la suite est de cauchy ?

merci beaucoup pour votre aide
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[SchliesseB]

Est-ce vraiment la définition d'une suite de Cauchy?

est-ce que est par exemple de Cauchy? pourtant tend vers 0

[MMu]

Je pense que ton prof a montré d'ou on déduit que la suite est de Cauchy.

[Médiat]

au final il arrive a une inégalité qui est |un+1 − un | ≤ (1/2)*((1/3)^n-1)*[1 - (1/3)^p]

Je n'ai pas vérifié les calculs, mais ne serait-ce pas plutôt |un+p − un | ≤ (1/2)*((1/3)^n-1)*[1 - (1/3)^p ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa7fccc7]

Merci pour vos réponses, pour que ca soit plus clair, j'ai mis la photo de la correction en ligne voici les adresses des deux images :


1ere page

Pour mieux comprendre mon erreur, ce que j'ai fais moi c'est que j'ai montré que la distance entre deux termes consécutifs tend vers 0 ? Et donc ca n'implique pas forcément une convergence car on pourrait avoir une suite qui est croissante, qui tend vers +l'infini mais donc les termes consécutifs sont de plus en plus proches ... c'est bien ça ?
je suis pas sur de réellement bien comprendre ...

Merci beaucoup pour votre aide, en plus très rapide, autant de réponses le matin ca fait plaisir

Merci

Vous aviez mis deux fois la même page, de plus votre façon de poster les images n'est pas compatible avec les règles de ce forum, merci de vous y conformer, cf. http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html

Médiat, pour la modération

[inviteaa7fccc7]

Désolé, voila la deuxième page en pièce jointe, j'espère que j'ai fait comme il fallait

Merci

[inviteaa7fccc7]

quelqu'un peut-il me guider dans la résolution ? , je galere :s


merci beaucoup

[albanxiii]

Quelle est, pour vous, la définition d'une suite de Cauchy ? (avec les quantificateurs)

[inviteaa7fccc7]

sans regarder le cours je dirais ça comme ça :

il existe E>0 / ∀n>N (n, N)∈ IN, |un+p − un | ≤ E.

Je vois donc bien que je réponds pas a la définition quand je dis que
|un+1 − un |< E ...

La correction du prof du coup je la comprend pas car il n'arrive pas a
|un+p − un | ≤ E

je suis vraiment perdu j'ai du mal...

merci pour votre aide

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

sans regarder le cours je dirais ça comme ça :

il existe E>0 / ∀n>N (n, N)∈ IN, |un+p − un | ≤ E.

Ta définition ne dépend pas de p

je dirais plutot



bonne soirée

[inviteaa7fccc7]

Mais comment je peux arriver a ca dans l'exercice ... ?

merci

[Tryss]

Attention, ca n'est pas mais

Car , et , donc (-1)^n serrait de Cauchy

[albanxiii]

Oui, c'est .

D'autre part, on peut remarquer que la valeur absolue vérifié l'intégalité triangulaire : .

Il suffit de prendre ici , ... et de recommencer....

On arrive à

(sauf erreur....).

[yootenhaiem]

|un+1 − un | ≤ 3^(−n) . Montrer que (un ) est une suite de Cauchy. Est-elle convergente ?



|un+1 − un | ≤ 3^(−n) => |un+1 − un | ≤ 1/3^n et donc 1/3^n -> 0 en + infini ce qui implique qu'a partir d'un certain rang il existe un E>0 tel que pour tout n |un+1 − un |< E et ceci implique que la suite est de cauchy ?

Je pense que oui, je ne sais pas tout de meme pas pourquoi tant de complications,c'est très simple et il suffit d'appliquer la definition de la limite avec le Epsilon et le rang N a partir duquel le tout tend vers 0

[yootenhaiem]

Une question : Tu n'as pas dis ca a ton prof ? Il a surement une raison (Que la raison ignore oO)

[inviteaa7fccc7]

Une question : Tu n'as pas dis ca a ton prof ? Il a surement une raison (Que la raison ignore oO)

Dire quoi ? que l'on pouvait peu être éviter tout une complication avec des somme etc ? Non vu que je n'étais pas sur ...

[invite2bc7eda7]

Attention, ca n'est pas mais

Car , et , donc (-1)^n serrait de Cauchy

Oui bien sur, j'ai pas fait attention a mon premier quantificateur...