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suite de cauchy ...



  1. #1
    aleexx

    suite de cauchy ...


    ------

    Bonsoir a tous, voila j'ai un exercice ou je comprend pas tres bien ma correction et j'aimerai votre aide si possible pour savoir comment le résoudre.

    voila l'ennoncé :
    Soit (un)n∈IN une suite reelle telle que ∀n ∈ IN,
    |un+1 − un | ≤ 3^(−n) . Montrer que (un ) est une suite de Cauchy. Est-elle convergente ?

    Alors le prof possède d'une facon dont j'ai plus ou moins compris la démarche, mais pas trop le but il transforme un+1 - un en passant par la somme, et au final il arrive a une inégalité qui est |un+1 − un | ≤ (1/2)*((1/3)^n-1)*[1 - (1/3)^p] Et il dit que ca tend vers 0.

    Pour résoudre l'exercice on peu pas tout simplement faire :

    |un+1 − un | ≤ 3^(−n) => |un+1 − un | ≤ 1/3^n et donc 1/3^n -> 0 en + infini ce qui implique qu'a partir d'un certain rang il existe un E>0 tel que pour tout n |un+1 − un |< E et ceci implique que la suite est de cauchy ?

    merci beaucoup pour votre aide

    -----

  2. #2
    SchliesseB

    Re : suite de cauchy ...

    Est-ce vraiment la définition d'une suite de Cauchy?

    est-ce que est par exemple de Cauchy? pourtant tend vers 0

  3. #3
    MMu

    Re : suite de cauchy ...

    Je pense que ton prof a montré d'ou on déduit que la suite est de Cauchy.

  4. #4
    Médiat

    Re : suite de cauchy ...

    Citation Envoyé par aleexx Voir le message
    au final il arrive a une inégalité qui est |un+1 − un | ≤ (1/2)*((1/3)^n-1)*[1 - (1/3)^p]
    Je n'ai pas vérifié les calculs, mais ne serait-ce pas plutôt |un+p − un | ≤ (1/2)*((1/3)^n-1)*[1 - (1/3)^p ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    aleexx

    Re : suite de cauchy ...

    Merci pour vos réponses, pour que ca soit plus clair, j'ai mis la photo de la correction en ligne voici les adresses des deux images :


    1ere page


    Pour mieux comprendre mon erreur, ce que j'ai fais moi c'est que j'ai montré que la distance entre deux termes consécutifs tend vers 0 ? Et donc ca n'implique pas forcément une convergence car on pourrait avoir une suite qui est croissante, qui tend vers +l'infini mais donc les termes consécutifs sont de plus en plus proches ... c'est bien ça ?
    je suis pas sur de réellement bien comprendre ...

    Merci beaucoup pour votre aide, en plus très rapide, autant de réponses le matin ca fait plaisir

    Merci

    Vous aviez mis deux fois la même page, de plus votre façon de poster les images n'est pas compatible avec les règles de ce forum, merci de vous y conformer, cf. http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html

    Médiat, pour la modération
    Dernière modification par Médiat ; 30/11/2010 à 09h24.

  7. #6
    aleexx

    Re : suite de cauchy ...

    Désolé, voila la deuxième page en pièce jointe, j'espère que j'ai fait comme il fallait

    Merci
    Images attachées Images attachées  

  8. #7
    aleexx

    Re : suite de cauchy ...

    quelqu'un peut-il me guider dans la résolution ? , je galere :s


    merci beaucoup

  9. #8
    albanxiii
    Modérateur

    Re : suite de cauchy ...

    Quelle est, pour vous, la définition d'une suite de Cauchy ? (avec les quantificateurs)

  10. #9
    aleexx

    Re : suite de cauchy ...

    sans regarder le cours je dirais ça comme ça :

    il existe E>0 / ∀n>N (n, N)∈ IN, |un+p − un | ≤ E.

    Je vois donc bien que je réponds pas a la définition quand je dis que
    |un+1 − un |< E ...

    La correction du prof du coup je la comprend pas car il n'arrive pas a
    |un+p − un | ≤ E

    je suis vraiment perdu j'ai du mal...

    merci pour votre aide

  11. #10
    Mysterieux1

    Re : suite de cauchy ...

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par aleexx Voir le message
    sans regarder le cours je dirais ça comme ça :

    il existe E>0 / ∀n>N (n, N)∈ IN, |un+p − un | ≤ E.
    Ta définition ne dépend pas de p

    je dirais plutot



    bonne soirée
    L'intelligence artificielle n'est rien comparée à la stupidité naturelle.

  12. #11
    aleexx

    Re : suite de cauchy ...

    Mais comment je peux arriver a ca dans l'exercice ... ?

    merci

  13. #12
    Tryss

    Re : suite de cauchy ...

    Attention, ca n'est pas mais

    Car , et , donc (-1)^n serrait de Cauchy

  14. #13
    albanxiii
    Modérateur

    Re : suite de cauchy ...

    Oui, c'est .

    D'autre part, on peut remarquer que la valeur absolue vérifié l'intégalité triangulaire : .

    Il suffit de prendre ici , ... et de recommencer....

    On arrive à

    (sauf erreur....).

  15. #14
    yootenhaiem

    Re : suite de cauchy ...

    Citation Envoyé par aleexx Voir le message
    |un+1 − un | ≤ 3^(−n) . Montrer que (un ) est une suite de Cauchy. Est-elle convergente ?



    |un+1 − un | ≤ 3^(−n) => |un+1 − un | ≤ 1/3^n et donc 1/3^n -> 0 en + infini ce qui implique qu'a partir d'un certain rang il existe un E>0 tel que pour tout n |un+1 − un |< E et ceci implique que la suite est de cauchy ?
    Je pense que oui, je ne sais pas tout de meme pas pourquoi tant de complications,c'est très simple et il suffit d'appliquer la definition de la limite avec le Epsilon et le rang N a partir duquel le tout tend vers 0
    «Il faut toute la vie pour apprendre à vivre.»

  16. #15
    yootenhaiem

    Re : suite de cauchy ...

    Une question : Tu n'as pas dis ca a ton prof ? Il a surement une raison (Que la raison ignore oO)
    «Il faut toute la vie pour apprendre à vivre.»

  17. #16
    aleexx

    Re : suite de cauchy ...

    Citation Envoyé par donkishot Voir le message
    Une question : Tu n'as pas dis ca a ton prof ? Il a surement une raison (Que la raison ignore oO)
    Dire quoi ? que l'on pouvait peu être éviter tout une complication avec des somme etc ? Non vu que je n'étais pas sur ...

  18. #17
    Mysterieux1

    Re : suite de cauchy ...

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Attention, ca n'est pas mais

    Car , et , donc (-1)^n serrait de Cauchy
    Oui bien sur, j'ai pas fait attention a mon premier quantificateur...
    L'intelligence artificielle n'est rien comparée à la stupidité naturelle.

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