Suite de Cauchy

[invite89ec4deb]

Bonjour tout le monde
selon la définition, une suite (Un) de K (K= R ou C ) est dite Cauchy si quelque soit epsilon £ > 0 il existe un nombre n appartenant à N quelque soit p et q tel que p,q > n on a la valeur absolue de Up-Uq est inférieur à épsilon £...
On a également toute suite de Cauchy est convergente ...
Le problème c'est que je ne peux pas distinguer une suite de Cauchy en dépit de la définition ci-dessus...
Pourriez-vous m'éclaircir cela s'il vous plait
AmiCalement
Nina
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[Universus]

Ce que la convergence dit, c'est que si tu as une suite convergeant vers un réel , alors pour n'importe quel nombre positif , la suite voit à partir d'un certain rang (c'est-à-dire pour tout , ) ses termes tous compris dans l'intervalle . Habituellement (et assez intuitivement), plus tu diminues l'intervalle autour de , plus il va falloir que tu attendes avant que tous les termes à venir de la suite soient compris dans l'intervalle (c'est-à-dire habituellement, plus est petit, plus est grand).

Pour une suite de Cauchy, les choses sont quelques peu changées. Pour que la suite soit de Cauchy, cela signifie que pour n'importe quel terme avec , tu auras que tous les termes de la suite de rang supérieur à (c'est-à-dire pour tous les , q > N) se trouvent dans l'intervalle .

Bref, tu te rends compte que si une suite est de Cauchy, alors la suite (soit la suite originale de laquelle on aurait retrancher les N premiers termes) voit tous ses termes contenus dans un intervalle fini. Mais vu que le epsilon doit en plus être arbitraire, tu peux le mettre aussi petit que tu veux et tu vois que la majorité des termes de la suite sont très près les uns des autres, leur proximité étant proportionnelle à . C'est un peu là l'idée intéressante des suites de Cauchy, car on peut démontrer par un raisonnement plus rigoureux que celui-ci (mais quand même équivalent) que l'idée derrière les suites de Cauchy est de donner un critère pour que des suites soient convergentes (une suite est convergente en fait si et seulement si elle est de Cauchy) sans néanmoins avoir à connaître vers quoi elle converge (le x du premier paragraphe qui est parfois difficile à trouver comme ça).

[Médiat]

(une suite est convergente en fait si et seulement si elle est de Cauchy).

Dit ainsi ce n'est pas tout à fait exact, il aurait fallu rappeler une hypothèse essentielle signalée par nina582 : une suite (Un) de K (K= R ou C ), et encore je suppose que l'un utilise la distance usuelle.

En effet, et c'est sans doute le point le plus intéressant, dans certains espace, comme Q avec la distance usuelle, les suites de Cauchy ne sont pas forcément convergentes (il sufit de prendre comme exemple une suite de rationnels positifs tels que U_n² tende vers 2, Un est de Cauchy mais n'est pas convergente (on peut construire IR de cette façon (avec toutes les suites de Cauchy et une relation d'équivalence)))..

[Universus]

Oui, tu as bien raison ; mon cours traite de l'analyse réelle et dans ce cas, avec les définitions de distance et tout que nous avons utilisées, on peut démontrer le théorème que j'ai mentionné. Néanmoins, j'ai effectivement entendu que ce n'était pas un théorème vérifié nécessairement dans tous les espaces métriques; chose que je suis content de savoir, puisque au moins ça m'enlève cette impression que la suite de Cauchy n'est qu'un synonyme de suite convergente étant donné des définitions légèrement distinctes des deux concepts et en vertu du théorème dont je faisais mention.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite89ec4deb]

Merci bien à vous deux ...
Mais ça reste encore flou chez moi !! Mais ça sera sympa de votre part si vous me proposiez des exemples de suites de Cauchy Merci d'avance

[Universus]

Je vais essayer.

Exemple de suite de Cauchy : . Il est assez clair (bien que nous n'ayons pas besoin de le savoir) que cette suite converge vers 0 (d'après le théorème dont j'ai fait mention, ayant une suite à valeurs réelles convergeant vers une valeur réelle, elle est de Cauchy). Démontrons néanmoins à partir de la définition qu'elle est de Cauchy.

Pour tout nombre epsilon positif, il existe un nombre N fonction de epsilon tel que pour tous entiers p et q chacun plus grand que N on ait que la valeur absolue de la différence des termes de rang p et de rang q soit inférieure à epsilon. En symboles :



Une définition équivalente et peut-être plus visuelle est la suivante :



Autrement dit, au lieu de considérer arbitrairement des pairs (p,q) tel que p et q soient chacun plus grand que N, p pouvant être plus grand ou plus petit que q, j'appelle p plutôt n et je considère des termes qui suivent uniquement (soit q=n+m exclusivement plus grand que p ; tu devrais te convaincre que cela revient au même).

On va faire un estimé :

puisque
puisque

Choisissons un certain N arbitraire plus grand que 0. On sait que pour tout n>N, on a 1/n<1/N, donc :



Reste à 'bâtir' ce N en utilisant le . Pour ce faire, on utilise la propriété archimédienne des réels qui dit que pour deux réels x,y (disons plus grands que 0 avec x<y), il existe un naturel c tel que cx>y. Soit x = 1 et (il peut prendre n'importe quelle valeur positive, mais ce sont les petites valeurs qui sont intéressantes afin de démontrer des convergences). Alors, on a que . Il existe donc un naturel tel que, selon la propriété archimédienne, , soit . Ainsi, on a bâtit le N dont on avait besoin pour avoir :



si et où prend, on s'en rappelle, les valeurs qu'on veut. Ainsi, on a démontré que la suite respecte la définition d'une suite de Cauchy et est donc de Cauchy.

Exemple de suite qui n'est pas de Cauchy : . Comment le démontrer? Soit en procédant par contradiction (on suppose qu'elle l'est et on démontre par des calculs que cela mène à une incohérence) soit en prenant la définition d'une suite de Cauchy et en prenant le contraire de toute les conditions afin de définir ce qui n'est pas une suite de Cauchy.

Définition suite de Cauchy :



Définition d'une suite qui n'est pas de Cauchy :



(J'ai quelques doutes quant à la validité des quantificateurs que j'utilise ici... mais bon ça ne change pas beaucoup de choses pour ce qui suit, malgré ce qui peut paraître)

Nous allons utiliser cette définition d'une suite qui n'est pas de Cauchy pour démontrer que la suite des log n n'est pas de Cauchy. Prenons , de telle sorte qu'on a l'estimé :

où nous avons choisi au final de prendre . Dans ce cas-ci, tu vois que peu importe le n que tu considères, il existe (au moins) une valeur de m telle que la différence entre deux termes de la suite ne soit jamais comprise dans un intervalle arbitrairement petit. Les termes de la suite ne tendent pas à se rapprocher de plus en plus dans l'absolu (bien qu'ils le fassent de façon relative ; la fonction f(x) = log x est concave vers le bas).

J'espère que c'est quelque peu plus clair, mais j'en doute malheureusement.

[invite89ec4deb]

Mercii Beaucoup Universus C'était trop gentil de ta part j'ai bien compris

[ichigo01]

salut !

Ou tu peux utiliser une autre Définition pour la suite de Cauchy :

qq soit Epsilon > 0 il existe un N appartient à IN , qq soit n>ou= N qq soit p appartient à IN :

|U(n+p) - U(n)| < epsilon