Intégration

[inviteebf74ac1]

Bonjour,

Je dois trouver la primitive de (3x+2)/(x²+x+1) et je ne trouve pas de méthode.
On ne peut pas décomposer en éléments simples car x²+x+1 n'est pas factorisable, l'intégration par partie ne me semble pas une bonne idée car les degrés des polynômes augmenteraient, j'ai essayé un changement de variable en utilisant la forme canonique de x²+x+1, ça n'a pas marché non plus et je ne vois pas d'autre changement intéressant.
J'ai peut être fait une erreur dans les calculs cités, pouvez vous me donner une piste svp?

Merci pour votre aide !
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[invitea3eb043e]

Tu fais en 2 étapes. D'abord, tu fais apparaître au numérateur la quantité 2 x + 1 qui est la dérivée du dénominateur. Tu mets les coefficients qui vont bien.
Ensuite, il reste un terme du genre Constante/(x²+x+1) et c'est là qu'il faut mettre la forme canonique pour faire apparaître un 1/(u² + 1) qui est un arc tangente.

[invited7e4cd6b]

T c'est là qu'il faut mettre la forme canonique pour faire apparaître un 1/(u² + 1) qui est un arc tangente.

Developpez svp ..

[invitea3eb043e]

On voit que (3 x + 2)/(x²+x+1) = 3/2 . (2 x+1)/(x²+x+1) + 1/2 . 1/(x²+x+1)
Le 1er donne immédiatement 3/2 Ln(x²+x+1) (inutile de mettre des valeurs absolues).
La seconde va donner au dénominateur (x+1/2)²+3/4 qu'on aimerait voir sous la forme u²+1, ce qui est facile, il suffit de poser x+1/2 = u racine(3/4)
et il vient un arctg(u) avec un coefficient devant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteebf74ac1]

Merci beaucoup,

Ca marche très bien ! Je n'avais pas décomposé la première fois avant de travailler avec la forme canonique , c'est pour ça que ça ne fonctionnait pas.

Le résultat est donc : (3/2) . ln(x²+x+1) + (1/racine de 3) . Arctan((2x+1)/racine de 3) + cste

[invitea3eb043e]

Oui, c'est juste.
Connais-tu ce site :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
Il te donnera toutes tes intégrales et te permettra de vérifier tes résultats.

[inviteebf74ac1]

Non, je ne le connaissais pas.
Merci beaucoup =)
C'est un super outil de vérification !