équivalent suite récurrente

[invited6262d2a]

Bonjour!

Alors voilà l'énoncé de mon problème :
On considère, pour U0 donné dans R, la suite (Un) définie par Un+1=Un(1-Un)

1. Montrer à quelle condition sur U0, cette suite converge et en déterminer la limite que l'on note L
2. Déterminer un équivalent de Un-L

Alors pour la question 1 je trouve que Un converge vers 0 si U0 appartient à [0,1] et diverge sinon.
Là où cela se corse c'est pour la question 2, je n'ai aucune idée de comment faire.
Si vous pouvez m'aider ça serait sympa ^^
Merci d'avance
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[KerLannais]

Salut,

Les cas et sont des cas particuliers pour lesquels tu n'auras pas d'équivalent, il faut donc les écarter. Il est alors facile de remarquer par récurrence que pour tout , reste dans . On peut alors poser

on définit alors une suite croissante (puisque la suite est décroissante) qui converge vers (puisque converge vers ).

1- Montrer que

et

2- En déduire que

3-En déduire que

4-Conclure.

[invited6262d2a]

Merci pour ta réponse

Alors pour la question 1 aucun problème.

Pour la question 2, comme on a V(n+1)=V(n)+1+1/(V(n)-1), et que 1/(V(n)-1) tend vers 0 quand n tend vers + infini, je dis que V(n+1) ~ V(n)+1.
Est ce que cela est correct?

Pour la question 3, je vois bien qu'il y a équivalence, mais je n'arrive pas à le rédiger correctement. ^^"

Pour la conclusion, il suffit de dire que si 1/U(n) ~ n alors leur inverses sont équivalents et donc U(n) ~ 1/n.
C'est bien cela?

Merci beaucoup pour ton aide

[KerLannais]

Il faut appliquer la définition de l'équivalent. Pour démontrer que

il faut montrer que

Il suffit de calculer

Puisque on a facilement le résultat et c'est parfaitement rigoureux.

Tu as alors

En posant et
On a

et
par ailleurs

Pour montrer

il suffit donc de montrer l'équivalence des séries
et
Tu as un théorème dans ton cours que tu peux appliquer normalement. Si tu n'as pas encore vu ce théorème c'est plus pénible il faut sortir les

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6262d2a]

J'ai trouvé ce théorème, j'espère que je ne me suis pas trompée ^^"

On a ak ~ bk et bk=1 (et non 0) donc la série de terme général bk diverge grossièrement.
On a alors que les sommes partielles de ces séries sont équivalentes et donc V(n) - V(0) ~ n.

Désolé pour l'écriture mais je ne sais pas comment faire les symboles mathématiques

[KerLannais]

Oui, à partir de là tu dois pouvoir conclure.

Juste un peut d'explication de pourquoi il intuitif de regarder
en fait on a (en raisonnant de façon intuitive et donc pas rigoureusement)

la différence joue le role de "dérivée discrète" donc cette équation est l'analogue discret de l'équa diff





et donc c'est grosso modo, on intuite donc que c'est , d'où l'idée de regarder et d'espérer montrer que sa dérivée discrète c'est , ie , l'utilisation du théorème sur les série sert juste à "intégrer ".

[invited6262d2a]

Merci beaucoup pour cette explication, j'allais justement demander comment on sait qu'il faut poser V(n)=1/U(n) ^^

Donc finalement, on arrive à V(n) - V(0) ~ n donc 1/U(n) - 1/U(0) ~ n et donc en passant à l'inverse : U(n) - U(0) ~ 1/n
donc U(n) ~ n + U(0) .

Je suppose qu'on doit pouvoir retirer le U(0) mais je ne vois pas trop comment. Peut-être est ce le V(0) que l'on peut enlever?Est ce parce que on cherche un équivalent en + infini?

En tout merci beaucoup pour ton aide précieuse ^^

[KerLannais]

attention tu obtiens


(il faut passer à l'inverse correctement)

lorsque tends vers l'infini les constantes sont négligeable devant
pour vérifier que

il faut d'après la définition (je te conseille de revenir systématiquement à la définition de l'équivalent en terme de limite tant que tu n'es pas à l'aise avec cette notion, quitte à ce que ce soit seulement au brouillon) vérifier que

ce qui est clairement le cas et donc on a bien

[invited6262d2a]

Merci beaucoup pour cette réponse très complète!

Je pense devoir me replonger sérieusement dans les équivalents ^^" mais c'est une très bonne idée de revenir à la définition, ça permet une vérification rapide.

[KerLannais]

Si tu veux t'entrainer tu peux toujours essayer de continuer le développement, sauf erreur de ma part on a

mais bon ça commence à devenir un peu difficile

[invited6262d2a]

Merci pour ce "petit" exercice supplémentaire ^^
Je vais essayer de le faire.