[exo] Suite d'aires

[invite0ab60510]

a) Quelqu'un pourrait m'aider a trouver une generalité car c'est beaucoups trop long car il faut faire l'aire du cercle - l'aire du carré

ce qui fais pour le premier cas : R² ( pi - 1/2 ) mais faut faire ceci pour les 3 autre cercles et les 3 autres carrés , y'a pas une generalité qui peux aller beaucoups plus vite ?

pi*R² - ( (R/ racine de 2 )* (R/ racine de 2)) = pi*R² - ( R² / 2) = R² ( pi - 1/2 ) => c'est l'aire du premier cercle - le premier carré

(pi*R²) / 8 => l'aire du 2 eme cercle mais apres je m'embrouille pour celle du carré , car en faite c'est cote²+cote² = "au coté du premier carré " ²

Mais a priorie d'apres Shokin ceci ne serai pas juste .... :'(

b)

Je sais que celle-ci tend vers une limite fini mais je n'arrive point a le demontrer ...
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[inviteb85b19ce]

Bonjour,

a) La relation de récurrence entre les côtés des carrés inscrits, de même que les cercles, est assez facile à trouver.

Appelons R₀ le rayon du premier cercle et a₀ le côté du premier carré inscrit. On voit facilement que a₀ = R₀, que R₁ = a₀/2, que a₁ = R₁ etc.
Ceci conduit aux relations suivantes n>0 : R_n = a_n-1/2 et n : a_n = R_n = a_n-1/.
(a_n)_n est une suite géométrique : a_n = R₀/()^n-1 et par conséquent R_n = R₀/()ⁿ

b) L'aire coloriée au rang n (c'est-à-dire le cercle n ôté du carré n) est donc A_n = R_n² - a_n² = R₀²(-2)/2ⁿ
Après c'est facile : on fait la somme des A_n...

[invite0ab60510]

mais pour le a ) sa me donne pas l'aire totale ?

suis désoler de poser cette question mais que je fais quelque chose j'aime bien comprend et pouvoir le reprendre tous seul part la suite , car le jour du bac je serai tous seul devant ma copie

[inviteb85b19ce]

mais pour le a ) sa me donne pas l'aire totale ?

C'est A₀ + A₁ + A₂ + A₃

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ab60510]

celui-ci ?

An = Rn² - an² = R0²(-2)/2n

R0 = ?

[inviteb85b19ce]

Dis-moi, tu as aussi le droit de réfléchir un peu quand même...

Oui, c'est bien ce A_n là (j'en ai défini qu'un seul d'ailleurs).
Et R₀ = R comme indiqué par cette phrase : "Appelons R₀ le rayon du premier cercle"

[invite0ab60510]

pi *Rn² - an² = R0²(pi-2)/2^n

Donc l'aire totale des zones coloriée en fonction de R :

pi*R0² (pi-2)/2^0 + pi*R1² (pi-2)/2^1 + pi*R2² (pi-2)/2^2 + pi*R3² (pi-2)/2^3

J'effectue et j'ai bien mon Aire en fonction de R , c'est bien cela ?

Par contre pourquoi cette formule n'apparait que dans la question b) ?

[inviteb85b19ce]

pi*R0² (pi-2)/2^0 + pi*R1² (pi-2)/2^1 + pi*R2² (pi-2)/2^2 + pi*R3² (pi-2)/2^3

Non, ce n'est pas ça... la formule des A_n ne fait pas intervenir R₁, R₂ etc. juste R₀ qui, je le répète, est égal à R.

Sinon, pourquoi la formule n'apparaît qu'au b)... heu... petite erreur de placement de ma part, mais ce n'est pas le plus important, tu ne crois pas?

[invite0ab60510]

Oui mais tu es d'accord que le rayon du 2 eme cercle n'est pas le meme que celui du premier ?!

Sinon, pourquoi la formule n'apparaît qu'au b)... heu... petite erreur de placement de ma part, mais ce n'est pas le plus important, tu ne crois pas?

Pourrai-tu reprendre ton premier poste alors , c'est peut-etre pour cela que je ne comprend pas tres bien ^^

Donc pour toi la premiere sa serai sa :

pi*R² (pi-2)/2^0 + pi*R² (pi-2)/2^1 + pi*R² (pi-2)/2^2 + pi*R² (pi-2)/2^3

[inviteb85b19ce]

Bon, essayons de ne pas craquer

L'aire que j'appelle A₀ est l'aire du premier cercle (de rayon R₀ = R) à laquelle on enlève l'aire du premier carré inscrit (dont le côté est a₀)
A₁ est l'aire du second cercle moins l'aire du second carré inscrit... et ainsi de suite :
A_n = R²(-2)/2ⁿ

Sur ton dessin, la construction s'arrête aux 4 premiers cercles (et aux 4 premiers carrés inscrits), donc l'aire totale en bleu est A₀ + A₁ + A₂ + A₃, ce n'est pas dur à calculer quand même?

A+

[invite0ab60510]

Bon alors on va vite voir si j'ai compris ^^ alors pour la premiere question :

Donc l'aire totale des zones coloriée en fonction de R :

R² ( pi -2 ) / 2^0 + R² ( pi -2 ) / 2^1 + R² ( pi -2 ) / 2^2 + R² ( pi -2 ) / 2^3

Nous sommes tous les deux d'accord ?

Par contre je n'ai donc pas compris la question b) puisque c'est cette formule que tu utilise pour trouver la limite ....

En tous cas je te remercie enormement de m'expliqué et de prendre de ton temps surtout

[inviteb85b19ce]

Nous sommes tous les deux d'accord ?

YESSS!!!

Pour le b) c'est exactement la même chose, sauf que tu sommes à l'infini : A₀ + A₁ + A₂ + ...

Commence par calculer la somme A₀ + A₁ + ... + A_n-1 + A_n pour n>0.
Si tu as vu en cours la formule qui te donne la somme des termes d'une suite géométrique, ça va être utile.
Quand tu auras calculé cette somme (fonction de n), il ne reste plus qu'à faire tendre n vers l'infini.

[invite0ab60510]

j'ai la formule :

[ ( n+1 ) ( U0 + Un ) ] / 2

donc ce qui ferai :

[ ( n+1 ) ( R² ( pi -2 ) / 2^0 + R² ( pi -2 ) / 2^n ) ] / 2

mais je ne suis pas sur

[invite0ab60510]

Et si cela est bon je dois faire la limite de sa ?

[invite0ab60510]

me suis tromper j'ai donner une formule de suite arithmetique ....

[invite0ab60510]

R²(pi-2)/2^0 * [ (1 - (1/2)^(n+1) ) / (1- (1/2)) ]

sa donne sa quand sa tend vers + l'infini : 2 ( pi -2 ) R^2

[inviteb85b19ce]

Oui, c'est tout bon!

Bonne journée.

[invite0ab60510]

Merci de confirmé , sa prouve au moins que j'ai compris