Série et DL

[invite340b7108]

Bonjour,

Quand on transforme un terme général de série en developpement limité, comment sait-on quel ordre prendre ?

Je dois étudier la série de terme général . Si je dis :

converge si , car c'est une série alternée.

converge si , pareil pour

Mais si je dis que :

alors converge si et la condition sur alpha diminue.
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
on se donne (rien à faire si et si ) on a la convergence absolue.
On prend un entier tel que et on effectue un développement limité/asymptotique. Le terme en petit o est celui d'une série convergente, en ce qui concerne les termes de la somme, ceux pour lesquels on aura au numérateur seront ceux d'une série convergente. Pour les autres, on devrait avoir à chaque fois un signe moins devant, et ce sont les termes d'une série divergente. Donc (par positivité) la somme de ces termes est le terme général d'une série divergente.

[invite57a1e779]

Beaucoup plus simple :

Si , alors le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge.

Si , je pose , terme général d'une série convergente.
La série de terme général a donc même nature que la série de terme général .
Or , et il y a convergence si, et seulement si .

[invitebe08d051]

Salut,

Bonjour,

Quand on transforme un terme général de série en développement limité, comment sait-on quel ordre prendre ?

Je dois étudier la série de terme général . Si je dis :

converge si , car c'est une série alternée.

converge si , pareil pour

Mais si je dis que :

alors converge si et la condition sur alpha diminue.

Je ne vois pas où vous voulez en venir.

Quel que soit l'ordre où vous vous arrêtez, vous ne pouvez rien dire, les règles de comparaisons ne s'appliquent qu'à des séries à termes positifs. (ou au moins à partir d'un certain rang)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite340b7108]

Si , je pose , terme général d'une série convergente.
La série de terme général a donc même nature que la série de terme général .

Pourquoi ces séries ont la même nature ?

[invitec317278e]

Salut,

soit et deux suites.

Si converge, alors, est de la nature de .
Distingue les cas converge et diverge... et intéresse toi aux sommes partielles. Il n'y a rien de compliqué.

ca finira même par te sembler évident.

[invite340b7108]

C'est vrai Merci !!

[invite340b7108]

Ce que je ne comprends pas vraiment, c'est que est aussi equivalent à (car c'est le plus petit terme de son DL, je crois) et donc, comme converge si , aussi, non ?

[invite57a1e779]

est aussi equivalent à [TEX]v_n[/TEX et donc, comme converge si , aussi, non ?

Ce raisonnement ne vaut que pour des séries dont le terme général est positif, ce qui n'est pas le cas ici.

[invite340b7108]

D'accord, merci !!