arithmétique

[milsabor]

Bonjour,
Comment montrer qu'il n'existe pas de nombres premiers de la forme a⁴+4 avec a entier?
et aussi, en essayant de résoudre ( sans succes) ce probleme, j'ai remarqué qu'un nombre impair a la puissance 4 (excepté les multiples de 5 impairs) se terminait par 1 et que les nombres pairs se terminaient par 6 (excepté les multiples de 10). Comment le démontrer?
merci
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[Père Occide]

Salut.
a⁴+4 ne peut pas être premier, ceci quel que soit a différent de 1 ou -1.
C'est une expression qui peut en effet se transformer en produit d'au moins deux facteurs différents de a⁴+1 et de 1. Pour le montrer, il faut considérer a⁴+4 comme un carré "incomplet" et penser à certaines identités remarquables.
Quant aux deux autres remarques, il suffit de penser à l'écriture d'un nombre pair : 2k, k entier et d'un nombre impair : 2k+1, k entier.
Bonne recherche !

[milsabor]

a⁴ +4=(a² )² +2²
= (a² +2)² -4a² =(a² -2a+2)(a² +2a+2). donc a⁴ +4 n'est pas premier.
effectivement ya de l'identité remarquable
merci!!

[invitee5c1744e]

Bonjour,
Comment montrer qu'il n'existe pas de nombres premiers de la forme a⁴+4 avec a entier?

Sois rigoureux dans tes questions : Si a= 1 tu as bien le nombre premier 5

et aussi, en essayant de résoudre ( sans succes) ce probleme, j'ai remarqué qu'un nombre impair a la puissance 4 (excepté les multiples de 5 impairs) se terminait par 1 et que les nombres pairs se terminaient par 6 (excepté les multiples de 10). Comment le démontrer?
merci

Remarque d'abord les terminaisons possibles des carrés des nombres impairs. Vois tu la suite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[milsabor]

euh je n'arrive pas a citer donc je répete la phrase a laquelle je reponds: "Sois rigoureux dans tes questions : Si a= 1 tu as bien le nombre premier 5"
ah oui
on a donc (a² +2a+2)(a² -2a+2)
Ce nombre n'est premier que s'il est multiple de 1 et de lui meme
donc on pose a² +2a+2=1<->a=-1
dans ce cas la a² -2a+2=5
et a² -2a+2=1<->a=1 et dans ce cas la a² +2a+2=5 aussi
donc a⁴ +4 est prmier si a=1 et a=-1, ce nombre premier est 5

[Pierre de Québec]

euh je n'arrive pas a citer

Fort simple : tu répond en appuyant sur le bouton "Citer".

Si tu répond dans la fenêtre de la réponse "rapide", il te faudra transcrire le texte que tu veux cité et pour la finition l'englober par le jeu de balise [Qu ote]TaCitation[/Quote] (sans l'espace entre le u et le o).

Maintenant si pour la première balise tu écris [Qu ote=TonPot] ça va donner :

TaCitation