Intégrale

[invitebe08d051]

Salut,

Je désire calculer l'intégrale suivante: avec et .

J'ai pensé à intégrer terme à terme, pour :



Mais là je dois discuter les cas avant de primitiver l'exponentielle et ça donne quelque chose d'affreux

Je dois avoir choisi la mauvaise série.
Qu'en pensez vous ?

Merci

Cordialement
Mimo
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[invitec317278e]

J'en pense que si tu intégrais entre 0 et 2pi, ce serait beaucoup plus simple, et que vu la gueule de la fonction ya pas de raison que ça donne une expression simple entre 0 et 1....en ce qui me concerne c'est comme ça que j'aurais fait.

après tu peux essayer le calcul formel sur des petites valeurs de n...

[invitebe08d051]

J'en pense que si tu intégrais entre 0 et 2pi, ce serait beaucoup plus simple, et que vu la gueule de la fonction ya pas de raison que ça donne une expression simple entre 0 et 1....en ce qui me concerne c'est comme ça que j'aurais fait.

Je suis du même avis, mais hélas ce n'est pas moi qui est choisi délibérément les bornes d'intégration.

Le problème c'est que même pour je trouve:



Avec des et la somme n'est pas du tout évidente à calculer...

Je devrais peut être consulter mon prof....

En tout cas, merci pour ta réponse.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Je préfère noter : .

Cela permet d'obtenir à peu de frais :



et il faut alors distinguer si est nul ou non, d'où :

et pour

ce qui permet un calcul de par récurrence, tout en mettant en évidence que l'on obtiendra pas une expression sympathique ; et il reste à calculer .

On peut effectivement intégrer terme à terme d'où, pour par exemple :



Il faut alors considérer la fonction , définie pour , qui s'exprime à partir de la détermination principale du logarithme complexe, et poursuivre le calcul :


On peut aussi revenir à des intégrales trigonométriques en posant :



que l'on calcule via le changement de variable .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Re,

Il est vrai que la relation de récurrence m'a totalement échappée.

Pour le calcul de , il existe une méthode qui s'appuie sur la décomposition en éléments simple de la fractions rationnelle:

Elle évite surtout la distinction des cas .
Je la posterai plus tard.

Merci beaucoup.