Bonjour à vous.

Voici mon problème :

Déterminer toutes les classes de similitude d'endomorphismes de de polynôme caractéristique ( on donnera un élément par classe ).

La première chose que je fais est de remarquer que .

Et je dois avouer que je ne sais pas trop comment raisonner ensuite. Surtout sur le fond. Pour la forme, on doit raisonner sur la puissance du facteur .

Mais, sur le fond, je suis un peu perdu.

Voilà comment je commencerai :

On considère l'anneau puis le -module .


On cherche donc les -endomorphismes qui ont pour polynôme caractéristique.

On représente par sa matrice . On a donc . Comme le polynôme caractéristique est scindé sur , on sait donc que u et sa matrice A sont trigonalisables. De plus, les coefficients diagonaux sont les racines de répétées autant de fois que leur degré en tant que racines.

Il semblerait qu'il faille chercher des avec tels que . A priori, on sait qu'il en existe ( pourquoi ? de plus, qu'est-ce que cela signifie ? ). On sait également que leur produit est égal au polynôme caractéristique, que et que est le polynôme minimal de .

Je ne vois pas pourquoi on introduit ce ( qui serait donc un -module ? ).

Donc, puisque le polynôme minimal a les mêmes racines que le polynôme caractéristique et qu'il le divise, on a donc 4 possibilités pour le polynôme minimal. Toutes sont-elles bonnes ?

Merci de votre aide !