Polynômes d'endomorphismes

[FAN FAN]

Bonjour, voici ma question:

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur C.
Soit L(E) l'ensemble des endomorphismes de E.
Soit C[X] l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.

Je sais que:
Q de d°p € C[X] a p racines, distinctes ou non.
u € L(E) alors Q(u) € L(E).
Il existe P # 0 € C[X], P(u) = 0, c'est à dire que u est un endomorphisme "racine" de P.

Voici ma question:
Etant donné un polynôme P de d°p € C[X], P a-t-il p "endomorphismes racines" dans L(E) comme il a p racines dans C ?
C'est a dire il existe u₁...u_p € L(E) tels que P(u₁) = ... = P(u_p) = 0 ?

Merci de m'éclairer sur ce point.
-----

[God's Breath]

Non, pour , signifie seulement que est un projecteur. Et il y a, dès que l'espace est de dimension supérieure à 2, nettement plus de 2 projecteurs...

[FAN FAN]

Non, pour , signifie seulement que est un projecteur. Et il y a, dès que l'espace est de dimension supérieure à 2, nettement plus de 2 projecteurs...

Je n'arrive pas à visualiser ta réponse...

[God's Breath]

Je n'arrive pas à visualiser ta réponse...

, c'est bien la définition d'un projecteur, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[FAN FAN]

Non, pour , signifie seulement que est un projecteur. Et il y a, dès que l'espace est de dimension supérieure à 2, nettement plus de 2 projecteurs...

Bien que je n'arrive pas à visualiser correctement, je crois avoir compris:

Prenons l'exemple du polynôme X² - X.
Tout projecteur pr est "racine" de ce polynôme de d°2: pr² - pr = 0.
Ainsi la réponse à ma question semble être:
Comme il existe une infinité de projecteurs, X² - X a une infinité de "racines" dans L(E) et on dois pouvoir généraliser:
Tout polynôme sur le corps des coefficients a une infinité de racines dans L(E) ?

[FAN FAN]

, c'est bien la définition d'un projecteur, non ?

Merci, j'ai bien compris.
Ma question n'était pas très pertinente mais après cet éclairage, elle en amène une autre:

Soit un polynôme P de d°p sur le corps C donc qui a p racines dans C.
Soit l'ensemble A, contenu dans L(E), des endomorphismes qui annulent P (endomorphismes "racine").
Question: n'existerait-il pas une relation d'équivalence entre ces endomorphismes avec le nombre de classes égale à p, d° du polynôme ? A pourrait être partionné en p classes ?

Pardon si cette nouvelle question n'était pas pertinente...

[Thorin]

de toute façon, à partir du moment où un ensemble a plus de p éléments, on peut toujours arbitrairement choisir p classes et définir ainsi une relation d'équivalence

[FAN FAN]

de toute façon, à partir du moment [IND]où un ensemble a plus de p éléments, on peut toujours arbitrairement choisir p classes et définir ainsi une relation d'équivalence

Certe, mais ce n'est pas des équivalences arbitraires que je cherche, mais les équivalences qui mettent en bijection l'ensemble quotient (ensemble des p classes d'endomorphismes) avec les p racines dans C du polynôme. Cette bijection évidemment ne doit pas être arbitraire, mais définie intrisèquement sans faire référence à un cas particulier, j'ai envie de dire une bijection "canonique" ?

{a₁,...a_p} ~ {{u₁/P(u₁)=0},..{u_p/P(u_p)=0}}
a_i |---> {u_i/P(u_i)=0}
a₁,...a_p étant les p racines complexes distinctes ou non du polynôme P de d°p.
Pour parler de façon imagée, l'infinité d'endomorphismes qui sont racines de P doit pouvoir se diviser en classes d'endomorphismes de "même nature", autant de "nature d'endomorphisme" différente que de racines distinctes de P...
J'appelle "nature d'endomorphisme" en ce sens par exemple que toutes les projections sont de "même nature" car elles ont des propriétés communes (ex. idenpotence) et quelle sont de "nature" différente des symétries par exemple qui ont une autre propriété (involution).

[Thorin]

toutes les projections sont de "même nature"

Dans ce cas, si l'on prend le polynôme , l'ensemble des endomorphismes qui l'annulent est l'ensemble des projecteurs...mais tu viens de dire que tous ces endomorphismes ont même nature, alors qu'il faudrait trouver 2 "natures" différentes...

[FAN FAN]

Dans ce cas, si l'on prend le polynôme , l'ensemble des endomorphismes qui l'annulent est l'ensemble des projecteurs...mais tu viens de dire que tous ces endomorphismes ont même nature, alors qu'il faudrait trouver 2 "natures" différentes...

Dans ce cas les racines de X² - X sont 0 et 1 dans C, alors il pourrait y avoir 2 classes d'endomorphismes racines dans L(E), la classe {0} correspondant à la racine 0 et la classe {projections} correspondant à la racine 1. Peut-on généraliser ? Autre exemple :
- Le polynôme X² - 1 a pour racine dans C -1 et 1 et dans L(E) il aurait pour racines la classe des symétries (correspondant à la racine -1) et la classe Indentité, classe ne comprtant que l'unique élément Id de L(E) (correspondant à la racine +1).

Je cherche à généraliser ce concept si c'est possible : Pour un polynôme donné, à chaque racine dans C, correspondrait une classe d'endomorphismes dans L(E). Il me semble, pour un polynôme donné, qu'il y a une liaison forte entre les racines dans C et les racines dans L(E) et qu'on peut mettre les deux en correspondances...?

[Thorin]

Je trouve ça un peu barbare d'associer d'une part un seul endomorphisme à une classe, et d'autre part, dire que tous les autres, on les fout dans la racine qu'il reste...
Et pas très justifié, au moins dans le cas des symétries, vu que les 2 racines sont quasi symétriques.

[God's Breath]

Et puis on va rire pour trouver les classes associées au polynôme .
Quant à distinguer le cas des polynômes et ....

[FAN FAN]

Et puis on va rire pour trouver les classes associées au polynôme .
Quant à distinguer le cas des polynômes et ....

C'est une simple hypothèse que je formule, à savoir, chercher à classer les endomorphismes racines avec des "classes indexées" sur les racines dans le corps des coefficients.
Cette hypothèse est basée sur l'idée qu'il y a une connection entre les deux esembles de racines, puisque c'est le même polynôme...

D'après ta réponse, cette hypothèse ne te parait pas fondée. Mais je persiste à croire qu'il y a une connection. Je chercherai et si j'ai des éléments de réponse, je les posterai.