Matrices symétriques

[math123]

Bonjour, voila j'ai une matrice symétrique
Voila et je devais trouver une matrice A j'ai donc calculer le polynôme caractéristique, puis espace propre et matrice de passage ce qui est assez long niveau rédaction et la je vais voir la correction et je vois à mon grand étonnement qu'il est signalé qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable (sa ok je le savais) mais c'est surtout le "Un calcul élémentaire fournit A²=PD²P^-1" puis la correction donne les coefficients des matrice P et D² voila je ne comprend pas comment on peut trouver la matrice P et D² par un "calcul élémentaire" alors que moi il m'a fallut écrire beaucoup plus en terme de rédaction. J'attend impatiemment vos réponses .
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[invite57a1e779]

Bonjour,

L'énoncé est très imprécis, mais il est classique que fournit, pour tout entier :

La matrice est symétrique réelle, donc diagonalisable, et ses espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
Comme cette matrice représente l'endomorphisme , on «voit» avec l'habitude que est un vecteur propre associée à la valeur propre 2.
On se place donc naturellement dans le plan orthogonal à ce vecteur propre, d'équation , et on «voit» immédiatement que ce plan est propre, associé à la valeur propre -1.
On obtient bien les matrices et par un «calcul élémentaire».

[math123]

Bonjour,

L'énoncé est très imprécis, mais il est classique que fournit, pour tout entier :

La matrice est symétrique réelle, donc diagonalisable, et ses espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
Comme cette matrice représente l'endomorphisme , on «voit» avec l'habitude que est un vecteur propre associée à la valeur propre 2.
On se place donc naturellement dans le plan orthogonal à ce vecteur propre, d'équation , et on «voit» immédiatement que ce plan est propre, associé à la valeur propre -1.
On obtient bien les matrices et par un «calcul élémentaire».

Salut,
Pour l'histoire des puissances je sais, mais le "on voit" ne me semble pas très clair ce qui me gène c'est que l'on a pas calculé le polynôme caractéristique donc on n'est pas "censé" connaitre les valeurs propres dance ce cas là, par exemple aux concours est-ce toléré ? Sinon j'ai une idée sans passer par le polynôme caractéristique qui me semble plus correct.
En calculant A^4 on peut remarquer que A^4-2*I-A=0
peut on raisonner comme ceci ?
Après on dit que le spectre de A^2 est inclus dans les racines de l'équation (on a auparavant fait le changement de variable A^2=X bien sur)

[invite57a1e779]

Si tu n'aimes pas l'expression "on voit que", tu la remplaces par : "une valeur propre évidente est 2, avec (1,1,1) pour vecteur propre associé", qui est de la même farine que "2 est racine évidente de l'équation x^3+x^2-x-10=0".

[A voir en vidéo sur Futura]

[math123]

Désolé mais autant pour les équations les solutions évidentes ok je comprends on teste plusieurs valeurs mais pour les matrice c'est plus complexes pourrais tu s'il te plait tenter d'expliquer comment "vois" tu que c'est évident car j'ai vraiment du mal .
Encore merci à toi

[invite57a1e779]

Comme cette matrice représente l'endomorphisme

Encore une fois, c'est une question d'habitude, après avoir réduit beaucoup de matrices :
si x=y=z=1, alors y+z=x+z=x+y=2, donc j'ai un vecteur propre et la valeur propre associée.

[math123]

Merci c'est plus clair . Mais après je ne comprend pourquoi tu dis "On se place donc naturellement dans le plan orthogonal à ce vecteur propre, d'équation x+y+z=0"

[sylvainc2]

C'est parce que A² est symétrique à coeffs réels alors ses sous-espaces propres sont orthogonaux. Comme on a déjà trouvé (1,1,1) comme vecteur propre, et qu'on est dans R³, alors le sev orthogonal à ce vecteur est un plan, et son équation cartésienne est 1x+1y+1z=0. C'est pour cà le "on se place naturellement...".

Ensuite on a qu'à choisir deux autres vecteurs propres indépendants dans ce plan pour compléter la base qui sert à diagonaliser.