Raisonnement faux à l'infini

[invite7863222222222]

J'interprète ce qui a été dit par danslideal comme suivant. Je précise que ce n'est pas un résumé de ce que dit dansliedal, mais une interprétation aussi avec d'autres schémas de pensée :

Soit T une théorie, et P une proposition indécidable dans T, alors on peut dire qu'on peut se retrouver dans 2 de situations "intellectuelles".

1/ la théorie T et P sont relativement éloignées sémantiquement. Par exemple, la formule exprimant la commutativité n'est pas dans le périmètre sémantique de la théorie des groupes. Dans certaines extensions de la théorie, oui mais pas dans d'autres.

2/ la théorie T peut être plus "riche" que dan 1/ et donner à penser certaines choses qu'elle ne formalise pas. Dans cette "extension" l'un des versants 'P' ou 'non P' est (plus) interprétable que l'autre, c'est à dire que soit 'P' fait (plus) sens que 'non P', soit l'inverse. Un exemple est le théorème de Goldstein qui ne se démontre pas dans l'arithmétique mais qui est "donné à penser par l'arithmétique" et qui se démontre dans ZFC.

Remarque sur 1/ et 2/ : je ne suis pas sûr de la pertinence et de la validité de la séparation faite entre 1/ et 2/ car même si un versant (P ou inversement non P) fait plus sens que l'autre, rien n'empêche de considérer l'autre versant pour créer du sens nouveau et mettre "à égalité" les deux versants.

Voilà pour l'instant ma position, il y a sans doute beaucoup de choses à critiquer et à revoir, comme notamment le montre la remarque sur 1/ et 2/.
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[Médiat]

Par exemple, la formule exprimant la commutativité n'est pas dans le périmètre sémantique de la théorie des groupes.

La commutativité est absolument et parfaitement dans le périmètre sémantique de la théorie des groupes (de toute l'algèbre d'une façon générale).

D'ailleurs je ne comprends pas comment une formule indécidable dans une théorie T pourrait ne pas être dans le périmètre sémantique de T.

[invite7863222222222]

La commutativité est absolument et parfaitement dans le périmètre sémantique de la théorie des groupes (de toute l'algèbre d'une façon générale).

J'ai voulu dire la valeur de vérité de la formule exprimant la commutativité n'est pas etc.

[invitecc3e6e62]

La commutativité est absolument et parfaitement dans le périmètre sémantique de la théorie des groupes (de toute l'algèbre d'une façon générale).

D'ailleurs je ne comprends pas comment une formule indécidable dans une théorie T pourrait ne pas être dans le périmètre sémantique de T.

d'abord quelque ce que vous appelez la commutativité ?
Chez moi, la commutativité c'est

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_commutative

D'ou mon incroyable étonnement !

La construction des entiers :

succ(a) + b = succ(b) +a
a + 0 = a

Comment exprimez vous l'addition sans ces deux axiomes ?
Le premier implique directement la commutativité pour l'addition.
C'est un axiome, pas un élément indécidable

[invitecc3e6e62]

La commutativité est absolument et parfaitement dans le périmètre sémantique de la théorie des groupes (de toute l'algèbre d'une façon générale).

D'ailleurs je ne comprends pas comment une formule indécidable dans une théorie T pourrait ne pas être dans le périmètre sémantique de T.

Donc mon texte, relisez le, T est un ensemble dont le cardinal est supérieur à N et inférieur à celui du continue. Le fameux ensemble est celui dont l'existence est censé être indécidable..
Je vous dis que T n'est pas exprimable dans la théorie d'origine qui contient les entiers et le continue.

[invite7863222222222]

Donc mon texte, relisez le, T est un ensemble dont le cardinal est supérieur à N et inférieur à celui du continue. Le fameux ensemble est celui dont l'existence est censé être indécidable..
Je vous dis que T n'est pas exprimable dans la théorie d'origine qui contient les entiers et le continue.

Pour cette question (hypothèse du continu), on se trouve dans la situation intellectuelle 1/ ou 2/.

[erik]

d'abord quelque ce que vous appelez la commutativité ?
Chez moi, la commutativité c'est

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_commutative

D'ou mon incroyable étonnement !

La construction des entiers :

succ(a) + b = succ(b) +a
a + 0 = a

Comment exprimez vous l'addition sans ces deux axiomes ?
Le premier implique directement la commutativité pour l'addition.
C'est un axiome, pas un élément indécidable

Médiat parlait de la théorie des groupes, la loi d'un groupe n'est pas obligatoirement l'addition ou la multiplication usuelle et les éléments d'un groupe ne sont pas obligatoirement des nombres.
Donc ta remarque à propos de la commutativité de l'addition des entier n'a rien à voir avec le message de Médiat.

Encore un fois tu confonds tout.

[Médiat]

Pour cette question (hypothèse du continu), on se trouve dans la situation intellectuelle 1/ ou 2/.

Les positions formalistes et platoniciennes sont un peu caricaturées ci-dessous, mais un peu seulement.

Si je traduis vos situations 1) et 2) pour un platonicien, elles deviennent
1) Le statut ontologique de la proposition P indécidable dans la théorie T me permet de choisir P plutôt que non P (ou le contraire), malheureusement comme je n'ai accès à l'ontologie que par le biais de la formalisation, seuls des points techniques concernant la formalisation et mon intuition peuvent me guider dans ce choix.
2) L'absence de toute indication ontologique dans un sens ou dans l'autre ne laisse que le choix d'attendre des jours meilleurs pour prendre une décision.

Si je traduis vos situations 1) et 2) pour un formaliste, elles deviennent
1) Des raisons techniques fortes (plus de théorèmes, plus de généralisations, plus d'élégance, etc.) me poussent à choisir P (ou non P) dans un premier temps, en n'oubliant pas que pour chaque théorème, si je peux éviter d'utiliser ce nouvel axiome dans mes démonstrations, les théorèmes obtenus seront valides dans T U {P}, aussi bien que dans T U {non P}
2) En l'absence de tout argument pouvant faire pencher la balance, je vais développer un maximum de théorèmes avec T seule, et puis, au cas par cas, suivant les besoins, je choisirai d'ajouter P ou non P.

L'exemple typique de ces deux situations est ... l'hypothèse du continu.

Woodin a développé une théorie incontestablement intéressante, qui a été survendu (par lui ou son équipe ou des journalistes, je ne sais pas) comme la "preuve" qu'il fallait choisir non HC ; cette présentation excessive est incontestablement de type platonicien (d'ailleurs Krivine s'en est moqué assez méchamment), puisque la "preuve" en question est en fait liée à la technique du forcing, c'est donc, de mon point de vue, un bon argument, propre à convaincre même un formaliste, dans les limites signalées ci-dessus, c'est à dire hors de toute considération ontologique.
Cerise sur le gâteau, aux dernières nouvelles Woodin aurait changé d'avis et pencherait maintenant plutôt vers HC (je n'ai aucune information sur les raisons de ce changement) ; il va de soi qu'un tel changement n'impacte pas grandement un formaliste ; mais le travail de Woodin reste très intéressant quelque soit la conclusion, ça, c'est le confort suprême dont profite le formaliste que de ne pas se soucier de la conclusion, ni même d'en avoir une.

[invite7863222222222]

Si je traduis vos situations 1) et 2) pour un formaliste, elles deviennent
1) Des raisons techniques fortes (plus de théorèmes, plus de généralisations, plus d'élégance, etc.) me poussent à choisir P (ou non P)

Mais vous êtes là en train d'avancer des arguments ontologiques par la nécessaire existence de ces raisons techniques fortes. Ce sont des arguments qui peuvent aussi convaincre un platonicien.

[Médiat]

Mais vous êtes là en train d'avancer des arguments ontologiques par la nécessaire existence de ces raisons techniques fortes

La technique n'est qu'un artifice de formalisation pour atteindre la vérité (pour le platonicien caricatural) elle n'a donc, a priori, rien d'ontologique (surtout dans le cas du forcing).

Ce sont des arguments qui peuvent aussi convaincre un platonicien.

Bien sûr, c'est pourquoi je parlais de caricature (décrire tous les cas de figures aurait noyé le poisson), mais le platonicien ne sera pas convaincu par un argument technique, et ne fera ce choix qu'en l'absence de tout argument ontologique, aussi faible soit-il, qui aurait ipso facto la préséance s'il devait se faire jour.

[invitecc3e6e62]

Médiat parlait de la théorie des groupes, la loi d'un groupe n'est pas obligatoirement l'addition ou la multiplication usuelle et les éléments d'un groupe ne sont pas obligatoirement des nombres.
Donc ta remarque à propos de la commutativité de l'addition des entier n'a rien à voir avec le message de Médiat.

Encore un fois tu confonds tout.

Le lien que j'ai mis parle bien de "loi commutative" et pas uniquement des entiers.

Pour des habitués de la bijection, vous devriez savoir que les structures mathématiques décrites par le même ensemble de propriétés produisent les mêmes ensembles de lois..
Il vous sera impossible de définir une seul addition, n'importe laquelle, sans poser comme axiome la commutativité. Si vous ne le faites pas, vous avez autre chose.

La définition "succ" ne se restreint pas plus au entier qu'au autre groupe ! !

[invitecc3e6e62]

Médiat parlait de la théorie des groupes, la loi d'un groupe n'est pas obligatoirement l'addition ou la multiplication usuelle et les éléments d'un groupe ne sont pas obligatoirement des nombres.
Donc ta remarque à propos de la commutativité de l'addition des entier n'a rien à voir avec le message de Médiat.

Encore un fois tu confonds tout.

En étant pervers, si on a l'ensemble E, on peut définir l'addition comme une application de E² -> E
La définition d'une loi de composition interne pose la commutativité comme un axiome
(ou si vous préférer une simple proposition qui découle directement de la définition de ce qu'est une loi de composition interne).

[erik]

La définition "succ" ne se restreint pas plus au entier qu'au autre groupe

Dois je comprendre que tu penses que les entiers constituent un groupe (pour l'addition usuelle), si c'est le cas je ne peux plus rien pour toi.

[erik]

La définition d'une loi de composition interne pose la commutativité comme un axiome

Absolument pas

[Médiat]

Dois je comprendre que tu penses que les entiers constituent un groupe (pour l'addition usuelle), si c'est le cas je ne peux plus rien pour toi.

Et si ce n'était pas le cas, est-ce que ...

Ah la cruauté de cette différence entre condition nécessaire et condition suffisante

[invitecc3e6e62]

Médiat parlait de la théorie des groupes, la loi d'un groupe n'est pas obligatoirement l'addition ou la multiplication usuelle et les éléments d'un groupe ne sont pas obligatoirement des nombres.
Donc ta remarque à propos de la commutativité de l'addition des entier n'a rien à voir avec le message de Médiat.

Encore un fois tu confonds tout.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_....C3.A9finition

.. la commutativité, dans les groupes abéliens, si j'ai bien compris, est un axiome..

[invitecc3e6e62]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_....C3.A9finition

.. la commutativité, dans les groupes abéliens, si j'ai bien compris, est un axiome..

L'idée que je veux exprimer est que pour un groupe muni d'une comparaison,

si il existe un seul c différent du neutre
tel que
(a + c) + b = a + (b+ c)

de proche en proche, avec des

(a + c +... + c) +b = a + (b + c+ .... + c )

On peut le démontrer pour tout couple a et b
et donc pour tout le de groupe..


Je veux dire, vous posez vos ensembles et vos axiomes sur la table. Si à un moment vous constaté que la loi est commutative, c'est nécessairement une conséquence de vos axiomes. ^^

[erik]

la commutativité, dans les groupes abéliens, si j'ai bien compris, est un axiome..

Tu as mal compris, un groupe peut très bien avoir des éléments qui ne commutent pas.

Et donc j'avais raison tu pensais que N était un groupe !!!
Plutot que venir avec plein de certitudes fondées sur rien ou sur des confusions (j'ai mieux compris les th de Gödel que tout les mathématiciens), profite du forum pour poser des questions sensées, on se fera un plaisir de t'aider à comprendre

[invitecc3e6e62]

Tu as mal compris, un groupe peut très bien avoir des éléments qui ne commutent pas.

Et donc j'avais raison tu pensais que N était un groupe !!!
Plutot que venir avec plein de certitudes fondées sur rien ou sur des confusions (j'ai mieux compris les th de Gödel que tout les mathématiciens), profite du forum pour poser des questions sensées, on se fera un plaisir de t'aider à comprendre

effectivement, mais dans tout les cas, quand la commutativité est un axiome qu'on pose ou non. tout simplement !
Et pour N, j'ai démontrer que la définition de N implique directement la commutativité..

[invitecc3e6e62]

effectivement, mais dans tout les cas, quand la commutativité est un axiome qu'on pose ou non. tout simplement !
Et pour N, j'ai démontrer que la définition de N implique directement la commutativité..

On a l'impression que vous venez de découvrir que les axiomes ne s'impliquent pas les uns les autres, et que par conséquent, un ensemble d'axiome ne permet pas de démontrer si un autre axiome est vrai ou faux.. J'ai envie de dire ! Ben évidemment ! sinon ça serait pas des axiomes...

[Médiat]

Et pour N, j'ai démontrer que la définition de N implique directement la commutativité..

Quelle définition de IN ? Quelle démonstration ?

[invitecc3e6e62]

Pardon, je l'ai fait dans un autre sujet :

On peut justifier
f) "4+5=9"
par

a) "4=succ(succ(succ(succ(0)) ))"
b) "5=succ(succ(succ(succ(suc c(0) ))))"
c) "9=succ(succ(succ(succ(suc c(su cc(succ(succ(succ(0)))))))))"
d) "succ(a)+b=a+succ(b)" avec a et b variable
e) "0+a=a" avec a variable


Essayer de définit "+" dans N sans utiliser d....

Dans N, quelque soit a et b

succ(a)+b = a+ succ(b)
donc, de proche en proche, quelque soit a et b
on peut trouver soit
a = succ(... succ(b)... ) ,

soit

b = succ(... succ(a)... )

Donc

a + b= b+a

Donnez moi deux entier x et y et je vous écrit la démonstration que
x + y = y + x
en utilisant simplement la loi
z + 0 = z

[invitecc3e6e62]

Pardon, je l'ai fait dans un autre sujet :

On peut justifier
f) "4+5=9"
par

a) "4=succ(succ(succ(succ(0)) ))"
b) "5=succ(succ(succ(succ(suc c(0) ))))"
c) "9=succ(succ(succ(succ(suc c(su cc(succ(succ(succ(0)))))))))"
d) "succ(a)+b=a+succ(b)" avec a et b variable
e) "0+a=a" avec a variable


Essayer de définit "+" dans N sans utiliser d....

Dans N, quelque soit a et b

succ(a)+b = a+ succ(b)
donc, de proche en proche, quelque soit a et b
on peut trouver soit
a = succ(... succ(b)... ) ,

soit

b = succ(... succ(a)... )

Donc

a + b= b+a

Donnez moi deux entier x et y et je vous écrit la démonstration que
x + y = y + x
en utilisant simplement la loi
z + 0 = z

voir même plus simple,

PAR DEFINITION

a = succ(succ(.... succ(succ(0)) .. ) )
b = succ(succ(.... succ(succ(0)) .. ) )

a+ b= succ(succ(.... succ(succ(a)) .. ) )
b+ a= succ(succ(.... succ(succ(b)) .. ) )
=succ(succ(.... succ(succ(succ(succ(.... succ(succ(0)) .. ) ) )) .. ) )

[Médiat]

succ(a)+b = a+ succ(b)

Ce n'est pas un axiome habituel de l'axiomatique de Peano.

donc, de proche en proche, quelque soit a et bon peut trouver soit [...]

Ce n'est pas une démonstration.

Donc a + b= b+a

Aucune justification n'a été donnée pour ce donc

Donnez moi deux entier x et y et je vous écrit la démonstration que x + y = y + x

Donc, vous prétendez, pour tout couple x, y être capable de faire la démonstration, et il faut vous faire confiance, mais surtout cela ne démontre pas .

Je vous rassure, il existe bien une telle démonstration, mais elle exige beaucoup plus de rigueur que cela.

Vous n'avez toujours pas donné la définition de IN que vous utilisez.

[invitecc3e6e62]

Ce n'est pas un axiome habituel de l'axiomatique de Peano.

Il y en a un équivalent pour définir l'addition..
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes...tique_de_Peano

Le 5.
x+sy = s(x+y)

donc
x + succ(y) = succ(x + y)

Dans tout les cas, quelque soit x ou y, ils peuvent être remplacé par
succ(... succ(0))

donc je vois pas trop ou est votre probléme !

Ce n'est pas une démonstration.

Depuis quand une suite d'implication entre proposition n'est pas une démonstration ??
C'est là votre probléme, quand on dit "pour tout n" ça signifie bien "pour chaque n pris un par un, je peux faire la démonstration"

Les démonstrations algoritmique remplace et sont "équivalente" à l'ensemble des démonstrations une par une.
Un raisonnement par récurrence, ça veut dire "si vous voulez, je peux vous le faire un par un jusqu'à n".
C'est une démonstration. Je me demande comment vous faites des mathématiques sans avoir la notion que chaque démonstration est une série d'étape entre proposition.. Le fait qu'on puisse "généralisé" des séries d'étapes en une description formel avec inconnue n'invalide en rien la série d'étape !! (enfin, voyons !! )


Moi je vous le dit, donnez moi deux entiers naturelles, et je vous démontre par une suite finit de ligne correspondant strictement à l'axiomatique de Peano que ces deux entiers naturelles satisfont à

x + y = y +x

[Médiat]

Il y en a un équivalent pour définir l'addition..
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes...tique_de_Peano

Le 5.
x+sy = s(x+y)

C'est ce que je dis, votre "axiome" n'est pas le bon, que vous le baptisiez équivalent ne change rien.

Dans tout les cas, quelque soit x ou y, ils peuvent être remplacé par succ(... succ(0))

Prouvez-le.

donc je vois pas trop ou est votre probléme !

Je n'en ai pas, vous en avez !

C'est là votre probléme, quand on dit "pour tout n" ça signifie bien "pour chaque n pris un par un, je peux faire la démonstration"

Non, pas du tout !

Un raisonnement par récurrence, ça veut dire "si vous voulez, je peux vous le faire un par un jusqu'à n".

Vous n'avez pas fait de démontration par récurrence.

Moi je vous le dit, donnez moi deux entiers naturelles, et je vous démontre par une suite finit de ligne correspondant strictement à l'axiomatique de Peano que ces deux entiers naturelles satisfont à x + y = y +x

Je n'en doute pas, mais vous semblez ne pas faire la différence entre pour tout x et tout y faire une démonstration, et faire une démonstration pour tout x et tout y.

Vous n'avez toujours pas donné la définition de IN que vous utilisez.

[invitecc3e6e62]

Je n'en doute pas, mais vous semblez ne pas faire la différence entre pour tout x et tout y faire une démonstration, et faire une démonstration pour tout x et tout y.

Evidemment, parce qu'il n'y en a pas !
Je ne sais pas d'ou vous êtes allez chercher qu'une démonstration valable pour tout x était différente d'une série de démonstration pour chaque x un par un.
Si vous voulez poser une définition mathématique de "pour tout x" vous poseriez quoi vous ??

Vous n'avez toujours pas donné la définition de IN que vous utilisez.

Pardon, j'utilise l'axiomatique de peano bien évidemment..

[invitecc3e6e62]

C'est ce que je dis, votre "axiome" n'est pas le bon, que vous le baptisiez équivalent ne change rien.

Prouvez-le.

Je n'en ai pas, vous en avez !

Non, pas du tout !

Vous n'avez pas fait de démontration par récurrence.

Je n'en doute pas, mais vous semblez ne pas faire la différence entre pour tout x et tout y faire une démonstration, et faire une démonstration pour tout x et tout y.

Vous n'avez toujours pas donné la définition de IN que vous utilisez.

De toute façon, je vous le répéte, je ne sais pas dans quelle monde magique vous vivez, mais quand on pose un par un les axiomes et qu'on observe une propriété particulière, quelle qu'elle soit, qu'on ai ou non la démonstration, on est malgré tout sur que la propriété découle des axiomes et n'est pas indécidable..

[invite7863222222222]

on est malgré tout sur que la propriété découle des axiomes et n'est pas indécidable..

Pas indécidable mais indécidable dans la théorie T, c'est à dire non démontrable dans T.

Une théorie ne définit pas les éléments de la théorie. Par exemple pour la théorie des groupes, on peut considérer dans cette théorie, le modèle standard des entiers, ou les matrices carrées d'ordre n (groupe non commutatif pour la multiplication, si je ne me trompe pas).

[erik]

danslideal,
tu confonds "construction d'un énoncé valide" -> pour cela on a besoin du vocabulaire et des règles de syntaxe de la théorie, mais pas des axiomes.
ET "démonstration d'un énoncé valide" là il faut démontrer que l'énoncé découle des axiomes de la théorie.

Par exemple : "pour tout x>2, x²<-666" est un énoncé valide (au sens syntaxique) mais il ne découle pas des axiomes.