Raisonnement faux à l'infini

[invite986312212]

Vous ne pouvez pas vérifier formellement que

somme(1/n²) = 2

ça paraît difficile en effet...
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[invitecc3e6e62]

La proposition est indécidable non pas parce qu'elle n'est pas incluse dans les axiomes, mais parce que l'on peut montrer que cette proposition ne peut pas être démontrée (de même que sa négation ne peut pas être démontrée)

oui mais par exemple "mon voisin s'appel Jean Pierre" peut il être démontrer par la théorie des ensembles ? et "mon voisin ne s'appel pas Jean Pierre ?"
cela fait il de ses deux propositions des propositions indécidables ?
Ce que je vous dit, c'est que la proposition que vous dites n'est pas déductible des axiomes et ne fait donc pas partie de la théorie, pas plus que "mon voisin s'appel Jean Pierre"

[invitecc3e6e62]

ça paraît difficile en effet...

??
ajouter limite si il le faut vraiment, ça n'enléve rien à la démonstration..

L'utilisation d'un calcul par récurrence est un pont qui se passe du calcul de la suite. Hors puisque pour la suite g dont nous parlons, il y a des régles de calcule aussi stricte que pour le reste, le pont existe fatalement. Vous comprenez ? Le chemin que vous prenez pour aller de m a g(m) est un chemin logique et décidable..

[invitecc3e6e62]

Prenez tout les propositions qui découle d'un ensemble d'axiome, et vous verrez que si aucun axiome ne fait référence à sa propre véracité, aucune proposition ne le fera. Et si les axiomes sont cohérents entre eux, l'ensemble des propositions le sera. Si vous avez un vrai exemple, une proposition qui se déduit des axiomes, qui ne fait pas référence à leur propre véracité et qu'il est impossible de trancher (non pas impossible pour vous ou moi, impossible pour un Dieu qui aurait une puissance de calcule infinie)

C'est une question de logique ! Si un des axiomes était incohérent avec les autres, ça voudrait dire qu'il implique des propositions qui contredise ces autres axiomes. Ce ne serait même pas un "axiome" à proprement parler..

[erik]

Si une proposition se déduit des axiomes c'est qu'elle est démontrable à partir de ces axiomes - évidemment.

La proposition que j'ai énoncée (qui s'appelle l'hypothèse du continu) est tout à fait valide/enonçable au sein de la théorie des ensembles dans laquelle on a défini la notion de cardinalité - Et elle est indémontrable.

Et ça n'a rien à voir avec la cohérence des axiomes entre eux !!!
D'ailleurs on peux rajouter l'hypothèse du continu comme axiome (c'est ce qu'on fait dans ZFC le C signifie continu) et on obtient une théorie consistante (c'est à dire sans contradiction).
Mais on peut également rajouter la négation de l'hypothèse du continue et on obtient une autre théorie également consistante.

[erik]

Citation:

Envoyé par danslideal Voir le message
Vous ne pouvez pas vérifier formellement que

somme(1/n²) = 2

ça paraît difficile en effet...

Ambrosio te taquinait, la somme des inverses des carré n'est pas égale à 2 mais à Pi²/6

[invitecc3e6e62]

Ambrosio te taquinait, la somme des inverses des carré n'est pas égale à 2 mais à Pi²/6

?
oups pardon!
je voulais dire :

somme(1/(2 ^ n)) = 2

Je penser au fameux "paradoxe de Zénon"... ce que je voulais dire c'est que pour Zénon, la démonstration aurait pu paraitre "indécidable"..

[invitecc3e6e62]

La proposition que j'ai énoncée (qui s'appelle l'hypothèse du continu) est tout à fait valide/enonçable au sein de la théorie des ensembles dans laquelle on a défini la notion de cardinalité - Et elle est indémontrable.

A bon ? Comment vous faites ?
^^

Vous utiliser "<" ?
Vous utiliser une bijection ?

[erik]

A bon ? Comment vous faites ?

Comment je fais quoi ?

[Médiat]

Bonjour,

Et dans toute théorie suffisamment puissante (récursivement axiomatisable et contenant l'arithmétique) il existe des énoncés indécidables

Dans toutes théories du premier ordre ...

(par exemple : il n'existe pas d'ensemble de cardinal supérieur au cardinal de N ET de cardinal inférieur à celui de IR est un énoncé indécidable)

Attention "énoncé indécidable" ne veut rien dire ; HC est un énoncé indécidable dans ZFC.

[Médiat]

(c'est ce qu'on fait dans ZFC le C signifie continu)

Euh non, le C de ZFC signifie ZF + axiome du choix (indécidable dans ZF)

[erik]

Euh non, le C de ZFC signifie ZF + axiome du choix (indécidable dans ZF)

Oui bien sur, qu'est ce qui me prend se soir, allez une tisane et au lit.

[invitecc3e6e62]

A bon ? Comment vous faites ?
^^

Vous utiliser "<" ?
Vous utiliser une bijection ?

comment vous faite pour déduire des axiomes de la théorie l'hypothèse du continu
(moi je dis ça, je dis rien ! )

[invite7863222222222]

comment vous faite pour déduire des axiomes de la théorie l'hypothèse du continu
(moi je dis ça, je dis rien ! )

On peut pas justement c'est indécidable. On peut l'exprimer mais alors de toute façon c'est pas que indécidable, et là je parle pour moi, l'hypothèse du continue est déjà d'abord difficile à se comprendre conceptuellement.

[invitecc3e6e62]

comment vous faite pour déduire des axiomes de la théorie l'hypothèse du continu
(moi je dis ça, je dis rien ! )

Vous n'avez pas compris. :

Soit A, B, C axiomes.
Soit P1, P2, P3..
L'application des axiomes.

Soit PZ autre chose, qui ne découle pas de A,B,C
Pz n'est pas "indécidable" pour A, B, C... ou alors tout théorie est indécidable pour les autres..

Pz ne fait simplement pas partie de la théorie basé sur A, B, C

D'ailleurs l'autoréférence elle-même, c'est justement parce qu'elle parle de la "véracité" de la proposition qu'elle est indécidable

Maintenant,
1)soit PA l'ensemble des propositions que découle de A
- Si Pa est incompatible avec B, C alors la théore est inconsistante

2) Et, si la théorie est "consistante", alors
PA, PB, et PC sont cohérents (puisqu'on est pas dans le cas 1)..
alors PAB et PBC sont cohérents, et même PABC..

L'ajout de "l'infini" dans se raisonnement ne change rien, puisque, par récurrence, la propriété "consistance" est préservé..

[invitecc3e6e62]

Vous n'avez pas compris. :

Soit A, B, C axiomes.
Soit P1, P2, P3..
L'application des axiomes.

Soit PZ autre chose, qui ne découle pas de A,B,C
Pz n'est pas "indécidable" pour A, B, C... ou alors tout théorie est indécidable pour les autres..

Pz ne fait simplement pas partie de la théorie basé sur A, B, C

D'ailleurs l'autoréférence elle-même, c'est justement parce qu'elle parle de la "véracité" de la proposition qu'elle est indécidable

Maintenant,
1)soit PA l'ensemble des propositions que découle de A
- Si Pa est incompatible avec B, C alors la théore est inconsistante

2) Et, si la théorie est "consistante", alors
PA, PB, et PC sont cohérents (puisqu'on est pas dans le cas 1)..
alors PAB et PBC sont cohérents, et même PABC..

L'ajout de "l'infini" dans se raisonnement ne change rien, puisque, par récurrence, la propriété "consistance" est préservé..

et ce que je disait, c'est que l"hypothése du continue est une "PZ" pour la construction des IN et IR.
Autrement dit, c'est potentiellement un axiome, ou potentiellement son contraire : c'est un choix.

[erik]

Autrement dit, c'est potentiellement un axiome, ou potentiellement son contraire : c'est un choix.

C'est ce qu'on appelle une proposition indécidable.

[invite7863222222222]

oui, c'est ca je suis d'accord (tous les Pz ne sont pas indécidables mais ceux qui sont exprimables avec les axiomes sont indécidables), ca j'avais compris dès le début.

Ce que je voulais dire, c'est que ce qui est le plus difficile pour moi, c'est de conceptualiser ce que pourrait être des théories où l'hypothèse du continu ne serait pas vérifiée ou vérifiées.

[Médiat]

(tous les Pz ne sont pas indécidables mais ceux qui sont exprimables avec les axiomes sont indécidables).

Cette phrase ne veut rien dire (on n'exprime rien avec des axiomes).

[invite986312212]

Ce que je voulais dire, c'est que ce qui est le plus difficile pour moi, c'est de conceptualiser ce que pourrait être des théories où l'hypothèse du continu ne serait pas vérifiée ou vérifiées.

cette phrase m'étonne, je n'ai pas l'impression que l'hypothèse du continu joue un très grand rôle dans les mathématiques. Mais je me trompe peut-être lourdement. Est-ce que quelqu'un peut citer un théorème relativement élémentaire qui "tombe" sans l'hypothèse du continu?

[Médiat]

Est-ce que quelqu'un peut citer un théorème relativement élémentaire qui "tombe" sans l'hypothèse du continu?

Je ne connais que quelques formules qui se simplifient énomément avec HC, voire HGC, et il me semble me souvenir( mais je n'ai pas retrouvé de référence, donc non confirmé) qu'avec HC on peut créer des ultrafiltres sur IN intéressants pour la théorie de la mesure.

[invitecc3e6e62]

Je ne connais que quelques formules qui se simplifient énomément avec HC, voire HGC, et il me semble me souvenir( mais je n'ai pas retrouvé de référence, donc non confirmé) qu'avec HC on peut créer des ultrafiltres sur IN intéressants pour la théorie de la mesure.

Excusez moi.. l'"hypothèse" du continue..
Soit :
- C'est un axiome , personne ne l'a prouvé, si on l'a "décidé", c'est un axiome.
- il y a une "démonstration", c'est une "proposition" qui n'est donc pas indécidable..

[erik]

Excusez moi.. l'"hypothèse" du continue..
Soit :
- C'est un axiome , personne ne l'a prouvé, si on l'a "décidé", c'est un axiome.
- il y a une "démonstration", c'est une "proposition" qui n'est donc pas indécidable..

Allez j'essaye encore :
Il n'y'a pas de démonstration possible de HC (dans ZFC) ET il n'y a pas de démonstration possible de non HC (dans ZFC).
On peut donc prendre HC comme axiome (on obtient ZFC+HC), ou prendre non HC comme axiome (on obtient ZFC+non HC).

On appelle ça l'"hypothèse" du continue pour des raisons historiques, Cantor l'avait posé comme une hypothèse qui restait à démontrer (une conjecture).

[invitecc3e6e62]

Allez j'essaye encore :
Il n'y'a pas de démonstration possible de HC (dans ZFC) ET il n'y a pas de démonstration possible de non HC (dans ZFC).
On peut donc prendre HC comme axiome (on obtient ZFC+HC), ou prendre non HC comme axiome (on obtient ZFC+non HC).

On appelle ça l'"hypothèse" du continue pour des raisons historiques, Cantor l'avait posé comme une hypothèse qui restait à démontrer (une conjecture).

c'est bien ce que je dis, ce n'est donc pas plus indécidable que "mon voisin s'appel bernard"

[invite7863222222222]

c'est bien ce que je dis, ce n'est donc pas plus indécidable que "mon voisin s'appel bernard"

Mais l'indécidabilité est relative à une théorie, pas au langage naturel.

[erik]

c'est bien ce que je dis, ce n'est donc pas plus indécidable que "mon voisin s'appel bernard"

T'as un GROS problème avec le vocabulaire.

Un énoncé valide (dans le cadre d'une théorie) est dit indécidable si il ne peut pas être démontré (au sein de cette théorie) ET si on ne peut pas non plus démontrer sa négation. C'est la définition du terme indécidable.

Exemples :

n'est pas indécidable (on peut le démontrer)

n'est pas indécidable (on peut démontrer sa négation)

n'est pas un énoncé valide.

HC est un énoncé valide, non démontrable, non HC n'est pas non plus démontrable : il est indécidable (c'est la DEFINITION du mot indécidable).

[invitecc3e6e62]

T'as un GROS problème avec le vocabulaire.

Un énoncé valide (dans le cadre d'une théorie) est dit indécidable si il ne peut pas être démontré (au sein de cette théorie) ET si on ne peut pas non plus démontrer sa négation. C'est la définition du terme indécidable.

Exemples :

n'est pas indécidable (on peut le démontrer)

n'est pas indécidable (on peut démontrer sa négation)

n'est pas un énoncé valide.

HC est un énoncé valide, non démontrable, non HC n'est pas non plus démontrable : il est indécidable (c'est la DEFINITION du mot indécidable).

Je vois pas le rapport : oui il existe des énoncés décidables.. et donc ?
Décidément vous ne comprenez rien à ce que je raconte.
Réflechissez un peu à ce que je dis.
Je vous dit que l'hypothése du continue n'est pas un énoncé valide, pas plus que ma proposition concernant mon voisin.
Comment voulez vous parler de ce qui est aprés N en utilisant les régles qui définissent N ?

Exemple :

"Exist n dans IN tel que n > x, quelque soit x dans N"

Cet enoncé n'est pas indécidable, il est incohérent avec l'axiome qui définit IN et les relations d'ordre.
De la même façon, dire qu'il existe un plus petit cardinal que le cardinal de R, n'est PAS DANS LA DEFINITION de R.

On peut éventuellement les posé comme "axiome", mais ce n'est pas un énoncé indécidable.

Vous ne pouvez pas poser d'hypothése sur qu'il y a entre les deux : Ce qu'il y a entre les deux NE FAIT PAS PARTIE des propositions de la théorie. C'est une "hypothèse". Evidement que ça n'est pas démontrable : ça n'en fait pas partie.
Tout comme le prénom de mon voisin. Vous ne pouvez pas démontrer le prénom de mon voisin, pas plus que son contraire.
Appelez ça indécidable, si ça vous chante, mais dans ce cas, chaque ensemble d'axiomatique incompatible avec les autres est indécidable pour les autres.

PAR CONTRE, la phrase "cet phrase est fausse" est absolument indécidable.

[invitecc3e6e62]

Vous avez un ensemble infinie X
un autre ensemble infinie Y
Vous savez, par un raisonnement logique, qui fait partie de la théorie, que Card(Y)> Card(X), sans plus.
Dire "Exist T tel que Card(Y)>Card(T) >Card(X)"
n'est pas indécidable : VOTRE THEORIE NE PERMET PAS de produire T.

Vous pourriez aussi dire que
Card(Y)>taille de l'univers >Card(X)
ou
Card(Y)>L'étrange objet infinie Zorba>Card(X)

est indécidable, c'est pareil !

Maintenant, vous pouvez essayer de trouver des énoncé valide selon les thermes d'une théorie donnée, qui en fait partie

mais dont on ne peut pas dire si elle est vrai ou fausse, et je vous montrerez qu'elle fait à un moment référence à elle-même.

Et si demain on arrive à construire une théorie plus cohérente et puissante des infinies, on aura peut être la réponse concernant "l'hypothèse" du continue, qui porte bien son nom.

[Médiat]

Ce fil est en route vers la fermeture :

• Agresser les intervenants qui essayent de vous expliquer les bases de la logique que visiblement vous ignorez, ne vous est d'aucune utilité et inflige à ce fil une atmosphère irrespirable.
• Votre refus de comprendre la signification des mots que vous utilisez rend ce fil mathématiquement stérile depuis le début.

Le prochain écart sera le dernier de ce fil.

Je vous rappelle que ce sous-forum s'appelle : Mathématiques du supérieur !

Médiat, pour la modération

[erik]

Voici ce qu'il te reste à faire :

1/ Contacter Paul Cohen pour l'avertir que la Médaille Fields (le plus prestigieux prix de Mathématique existant) qu'il a obtenu n'a aucune valeur, puisque démontrer l'indécidabilité de HC dans ZF n'a pas de sens.

2/ Demander à Médiat de te fournir les coordonnées des plus prestigieuses revues de logique pour y publier un article expliquant que TOUT les mathématiciens (y compris Gödel lui même) n'ont rien compris au deuxième théorème de Gödel depuis 80 ans.

3/ Dans la foulée, résoudre les 6 problèmes du millénaire qui restent sans réponse (pas de chance Perelman t'a grillé il y a peu de temps sur la conjecture de Poincaré).

Quelle émotion d'avoir assister assisté à l'une des plus grande révolution des fondements des mathématiques.


PS :
* La phrase "cette phrase est fausse" n'est pas indécidable (au sein de quelle théorie d'ailleurs ?) elle est paradoxale, ça n'a rien à voir.
* Hc est un énoncé parfaitement valide dans ZFC
* La théorie dans laquelle on se place (ZFC) permet bien évidemment d'envisager l'existence (ou la non existence) d'un ensemble T tel que card(N)<card(T)<card(R). Mais finalement quand on te dit ZFC comprends tu de quoi on parle ?