Petite question convergence suite

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait t'il me dire,

Un=cos[pi*n^2*ln((n-1)/n)]

Dans un livre, on déduit du fait que
pi*n^2*ln(1-1/n) équivalent à -pi*n en l'infini
que lim Un=0 en l'infini.

Quel théorème, propriété... a été appliqué?

Attention, j'ai réussi à démonter le résultat en passant par le developpement limité de ln(1-1/n) à l'ordre 2 en 0:
Un=cos[pi*n^2*(-1/n-1/(2n^2))] et on aboutit à cos(pi/2).

Ce que j'aimerais savoir c'est comment juste en posant l'équivalence dite plus haut on peut en déduire la limite.

Un grand merci à qui prendra son temps pour me donné des éléments de réponses.

Bagnolet.
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[invite5ffffaa4]

voili voilu,, un ptit message pour remonté le sujet.

[albanxiii]

Bonjour,

Un développement limité tout simple de permet de conclure.

En effet, . Donc, le logarithme est équivalent à , et on continue en simplfiiant l'expression totale.

[inviteaf1870ed]

Pour être honnête, aucune des deux réponses ne me convient :
-Le DL à l'ordre 2 donne cos(nPi+Pi/2), qui ne tend pas vers cos(pi/2) me semble t il
-Le DL à l'ordre 1 donne cos(-nPi)=cos(nPi) et je suis comme Bagnolet, je ne vois pas trop pourquoi on peut affirmer que cela tend vers zéro.

Cependant une simulation montre que cela semble bien etre le cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ffffaa4]

Pour être honnête, aucune des deux réponses ne me convient :
-Le DL à l'ordre 2 donne cos(nPi+Pi/2), qui ne tend pas vers cos(pi/2) me semble t il
-Le DL à l'ordre 1 donne cos(-nPi)=cos(nPi) et je suis comme Bagnolet, je ne vois pas trop pourquoi on peut affirmer que cela tend vers zéro.

Cependant une simulation montre que cela semble bien etre le cas

cos(nPi+Pi/2)=cos(nPi)cos(Pi/2)-sin(nPi)sin(Pi/2)
=(-1)^n*cos(Pi/2)

en prenant la valeur absolue,, on trouve:

lim cos(nPi+Pi/2)=lim cos (Pi/2)=0.

donc il me semble qu'en développant à l'ordre 2 cela fonctionne.

[inviteaf1870ed]

J'ai répondu trop vite, on y arrive effectivement avec le DL à l'ordre 2.
En effet on a Un équivalent à cos(pi/2+pi*n)=-sin(pi*n)=0

[invitebf26947a]

Je crois que je me trompe, mais c'est pas une suite de Cauchy?

[invite1e1a1a86]

ce qui permet de conclure

[albanxiii]

En tout cas, toutes mes excuses pour avoir répondu à côté. La seule explication que je vois c'est que j'ai été victime d'une hallucination.

Avec le DL du logarithme à l'ordre 2 on trouve en effet .

[invite5ffffaa4]

ce qui permet de conclure

C'était bien la peine que je précise en mettant un "attention", que j'arrive à le démontré lorsque l'on utilise le DL à lordre 2,, pour qu'on me refasse la démonstration,,,.

Merci quand meme.

[invite1e1a1a86]

ok je l'ai mal dit, je répète donc:

Un d.L. du 1er ordre ne permet pas de conclure.

Il faut au moins aller à l'ordre 2: .

Je répondais bien à votre question (que j'avais bien lu!).

Par exemple,si on était tombé sur , ça ne marchait pas.

[invitec317278e]

Dans un livre, on déduit du fait que
pi*n^2*ln(1-1/n) équivalent à -pi*n en l'infini
que lim Un=0 en l'infini.

c'est évidemment un argument parfaitement faux sans plus de précisions...