intégrale impropre
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intégrale impropre



  1. #1
    invite4479d333

    intégrale impropre


    ------

    Bonjour,
    J'ai un petit problème pour résoudre ce problème:

    soit voir pièce jointe

    montrer que lim F[a,b](x)= ln(b/a) en utilisant un encadrement.
    x->0+

    tout d'abord j'ai dit que sin(t)^3/t^2 < 1/t d'où F[a,b](x)<ln(b/a)

    mais pour l'autre encadrement je n'arrive pas à trouver est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? SVP

    -----
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  2. #2
    wopl_a

    Re : intégrale impropre

    on suppose b>a, si tu prends x petit, la longeur de l'interval d'integration est petit (b-a)x plus petit que disons pi/2, donc la fonction sous l'integrale ne change pas de signe et est d'ailleurs positive sur [ax,bx], mais sin(t) est plus petit que t pour t (équivalent a t-t^3/6) proche de 0 donc sin^3 < t^3 donc ta fonction tu peux la majorer par t, et F par (b-a)x², qui tend vers 0 donc la limite de F est 0

  3. #3
    invite4479d333

    Re : intégrale impropre

    Bonjour wopl_a,
    j'ai fais une petite erreur d'écriture en fait c'est l'intégrale de ax à bx de sin(t)/t^2
    Images attachées Images attachées  

  4. #4
    invite4479d333

    Re : intégrale impropre

    ?? < sin(t)/t^2 < 1/t

    => ?? < F[a,b](x) < ln(b/a)

    il me manque l'encadrement de gauche ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    wopl_a

    Re : intégrale impropre

    "on suppose b>a, si tu prends x petit, la longeur de l'interval d'integration est petit (b-a)x plus petit que disons pi/2, donc la fonction sous l'integrale ne change pas de signe et est d'ailleurs positive sur [ax,bx]"(je reprends ce que j'ai dit avant), mais sin(t) est équivalent à t - t^3/6 + etc..(Taylor), tu peux le minorer par, par exemple, t - t^3 (t-t^3 > 0 car t < 1)

  7. #6
    mimo13

    Re : intégrale impropre

    Salut,

    Tu peux par exemple, exploiter la concavité de la fonction sin sur :


  8. #7
    invite4479d333

    Re : intégrale impropre

    Merci pour vos réponses

  9. #8
    Thorin

    Re : intégrale impropre

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    Salut,

    Tu peux par exemple, exploiter la concavité de la fonction sin sur :

    comment tu conclus avec ça ?
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  10. #9
    invite4479d333

    Re : intégrale impropre

    On ne peut pas conclure avec cet encadrement mais avec celui de wopl_a on trouve bien le résultat attendu, cependant je ne comprends pas pourquoi on prend la limite en 0+ et pas directement la limite en 0?

  11. #10
    kNz

    Re : intégrale impropre

    Salut,

    pourrait aider.

  12. #11
    kNz

    Re : intégrale impropre

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Salut,

    pourrait aider.
    Désolé, pas vu la réponse de wopl_a

  13. #12
    mimo13

    Re : intégrale impropre

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    comment tu conclus avec ça ?
    Désolé, j'ai lu un peu trop vite.

  14. #13
    invite4479d333

    Re : intégrale impropre

    Cependant je ne comprends pas pourquoi on prend la limite en 0+ et pas directement la limite en 0?

  15. #14
    mimo13

    Re : intégrale impropre

    Salut,

    Un petite image de la fonction :



    Remarque que , donc on peut très bien parler de puisque de toute façon on a ici

    Mais le plus important, c'est que et soit de même signe non nuls, car sinon ton intégrale peut diverger.

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