Espaces vectoriels, endomorphisme

[invite412adb70]

njour,
je bloque dès la 4eme question.. quelqu'un pourrait-il m aider s'il vous plait?

Exercice - partie 1
soit E= R².On considère les endomorphismes f et g définis par : g(x,y) = (x+y,x+y) et f(x,y)= (2x+y,x+2y)
1-déterminer l'image et le noyau de g. On en donnera une famille génératrice simple.

ker(g)= (0,0) on peut donc en déduire que g est injective. Or g est un endomorphisme de R² qui est un e-v de dimension finie g est donc aussi surjective. Img= R²

(x+y,x+y)= x(1,0)+y(0,1) g est l ensemble des combinaisons linéaires de vecteur v(1,0) et u(0,1) donc (v,u) engendre R²

2- montrer que pour tout k >0, g^k = 2^k-1g

je l ai montré par récurrence

3- vérifier que f= g+ Id(R²) en déduire une expression de fⁿ en fonction de g et Id (R²) pour tout n>0
n
je trouve fn= Σ (k parmi n) g^k . Id ^n-k
k
=Σ (k parmi n) 2^k-1g . Id ^n-k

mais je ne sais pas trop comment la simplifier

4- calculer f² -4f= fof -4f

5- f est-elle une application injective? surjective?


Partie 2 :

E est un R-ev, o, réduit au singleton O_E et d un endomorphisme de E vérifiant
f2-4f+ 3I = 0 où I=Id_E

1 montrer que f est un automorphisme de E et exhiber f^-1

je bloque dès cette première question...

merci de votre aide
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[taladris]

Salut,

njour,
je bloque dès la 4eme question.. quelqu'un pourrait-il m aider s'il vous plait?

Exercice - partie 1
soit E= R².On considère les endomorphismes f et g définis par : g(x,y) = (x+y,x+y) et f(x,y)= (2x+y,x+2y)
1-déterminer l'image et le noyau de g. On en donnera une famille génératrice simple.

ker(g)= (0,0) on peut donc en déduire que g est injective.

C'est clairement faux. Il faut que tu vérifies tes calculs.

Or g est un endomorphisme de R² qui est un e-v de dimension finie g est donc aussi surjective. Img= R²



(x+y,x+y)= x(1,0)+y(0,1) g est l ensemble des combinaisons linéaires de vecteur v(1,0) et u(0,1) donc (v,u) engendre R²

Attention, xu+yv=(x,y) et non (x+y,x+y).

2- montrer que pour tout k >0, g^k = 2^k-1g

je l ai montré par récurrence

3- vérifier que f= g+ Id(R²) en déduire une expression de fⁿ en fonction de g et Id (R²) pour tout n>0
n
je trouve fn= Σ (k parmi n) g^k . Id ^n-k
k
=Σ (k parmi n) 2^k-1g . Id ^n-k

mais je ne sais pas trop comment la simplifier

C'est juste. N'oublie pas que tu peux utiliser le binôme de Newton car g et Id commutent. De plus, il est évident que Id^k=Id pour tout k.

Cordialement

[Elie520]

Bonjour.
Pour la partie deux, tu as :

car c'est un endo et donc une AL.
Or -Id est bij donc surj et inj, donc f surj et f-4Id inj. D'où f bij. Donc f automorphisme.