Suite convergente

invite3b8041c2 · 30/12/2010, 11h40

Bonjour à tous,

je rencontre un petit problème face à un exo de maths sur les suites convergentes :

soit (an) une suite croissante avec a1>1
on definit un=1/a1+1/(a1*a2)+.....+1/(a1*a2*....*an)

il faut étudier la convergence de (un) et je ne vois pas du tout comment faire...
Est-ce que vous pourriez m'aider?
Merci.

**Seirios** · 30/12/2010, 11h45

Bonjour,

Il suffit d'appliquer le critère de d'Alembert à la série.

**Seirios** · 30/12/2010, 12h03

Sinon, une alternative pour ne pas utiliser le critère de d'Alembert "explicitement" (au cas où tu ne le connaitrais pas) :

Je note $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$ ; comme $\text{[math]}$ est croissante avec $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ tend vers zéro, soit vers $\text{[math]}$ , donc pour n assez grand (disons $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Première méthode : On justifie par récurrence que $\text{[math]}$ , d'où en sommant : $\text{[math]}$ .

Deuxième méthode : On a $\text{[math]}$ , ou $\text{[math]}$ , donc la suite $\text{[math]}$ est décroissante ; comme elle minorée par 0, elle converge, notons $\text{[math]}$ sa limite. Alors pour n assez grand, $\text{[math]}$ , et on conclut comme précédemment.

invite3240c37d · 31/12/2010, 00h36

Voici un autre point de vue..
$\text{[math]}$ , donc la suite est croissante : $\text{[math]}$
D'autre part comme $\text{[math]}$ est croissante , $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ ,d'où
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est donc croissante et bornée, donc convergente.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite3240c37d · 31/12/2010, 00h47

Désolé je corrige un détail: $\text{[math]}$

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