Ensembles de "Nombres"

[Médiat]

Une nouvelle version avec :

Les quaternions
Les quaternions hyperboliques de Macfarlane
Les biquaternions

PS : la dernière livraison a été vues par 4 personnes sur les 56 qui se sont déclarés intéressé, et pas un seul commentaire, que ce soit pour critiquer, pour demander des explications sur des passages peu clairs ou pour demander des ajouts.

Si celle-ci ne fait pas mieux, ce sera la dernière livraison.

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***
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[Seirios]

Pour ma part, je n'ai pas beaucoup de temps en ce moment, mais je continuerai ce que j'ai commencé avec le reste du document.

[Médiat]

Pas de problème, quelque soit les circonstances je continuerai d'intégrer les contributions et de les publier.

[invite9617f995]

Bonjour,

Bon travail, comme d'habitude. Quelques remarques :


A propos de la partie "Algèbre de dimension 2 sur R", page 67, j'ai repéré quelques fautes :

Après la première table de multiplication : "... pour l'algèbre R+R munie de la ...".

Juste après cette phrase : "Trois cas particuliers sont particulièrement intéressants".


Dans la partie "Nombre duaux D", page 69 :

Dans la définition de l'exponentielle, il manque une fermeture de parenthèse (il manque d'ailleurs la même parenthèse au même endroit dans la partie complexes fendus il me semble).

Dans la partie "conjugué, norme ...", à la deuxième ligne, il y a un e en trop à "conservé".

Ne dit-on pas conservé "par" la multiplication, que "dans" la multiplication, voire "compatible avec la multiplication" ?

De plus, ne serait-il pas plus prudent de noter le module |.| plutôt que ||.|| étant donné qu'il ne s'agit pas d'une norme (peut-être la notation ||.|| est standard, mais je pose la question au cas où) ?

Dans la partie sur l'inverse, je pense qu'il faudrait rajouter un "si" avant "sa partie réelle ...". De plus, dans la même phrase, il manque un e à "différent".

D'ailleurs le document fait référence à la partie réelle d'un nombre dual, qui n'est pas, il me semble, définie auparavant.

Je pinaille , mais pour la représentation exponentielle, je mettrais a₀+a₁ε=a₀e^....

"La géométrie associée à C₀ est appelée parabolique".

Enfin, pour la partie utilisation en physique, il me paraitrait plus judicieux de traduire le nom des domaines qui utilisent les nombres duaux.


Voilà pour le moment, je continuerais ma lecture plus tard
Bon courage,
Silk

PS : à propos des affichages, j'ai déjà eu l'impression que le forum ne comptait pas l'ouverture simple du document mais seulement le téléchargement (du moins pour moi).

[invite986312212]

à mon humble avis, il faut citer le livre de Conway "on numbers and games" qui a été réédité récemment chez AK Peters. C'est un des livres de maths les plus jouissifs que je connaisse. Il finit par:
Theorem 100 : this is the last theorem in this book.
(the proof is obvious)

[Médiat]

à mon humble avis, il faut citer le livre de Conway "on numbers and games" qui a été réédité récemment chez AK Peters. C'est un des livres de maths les plus jouissifs que je connaisse. Il finit par:
Theorem 100 : this is the last theorem in this book.
(the proof is obvious)

J'étais persuadé de l'avoir mis dans les références de l'article sur les surréels, je vais réparer cette erreur au plus vite.

Merci

[Médiat]

silk78 : J'ai corrigé les différentes fautes d'orthographe, merci.

Pour

Ne dit-on pas conservé "par" la multiplication, que "dans" la multiplication, voire "compatible avec la multiplication" ?

j'ai contourné le problème en disant que la norme est multiplicative .

Pour les références physique, je ne les ai pas traduites car je ne connais pas les appellations officielles, si un physicien de passage pouvait nous aider ce serait super, y compris pour :

Surreal numbers can be a basis for the Feynman checkerboard representation of the many-worlds of sum-over-
histories quantum field theory

[Seirios]

Pour les algèbres de Clifford : Une parenthèse de trop dans le point 1 de la seconde définition ; en IV.5.5, "rêvé" ; il manque une parenthèse dans la dernière ligne du IV.5.8. Sinon, le IV.5.9 est intentionnellement laissé vide ?

Une petite question sur les hyperréels : la construction présentée utilise l'ultrafiltre des ensembles de mesure 1, et il est mentionné que l'on peut faire cette construction avec n'importe quel ultrafiltre. Quel est l'impact du choix de l'ultrafiltre sur la construction ?

[Médiat]

Pour les algèbres de Clifford : Une parenthèse de trop dans le point 1 de la seconde définition ; ?

ok

en IV.5.5, "rêvé" ;

ok

il manque une parenthèse dans la dernière ligne du IV.5.8.

ok

Sinon, le IV.5.9 est intentionnellement laissé vide ?

En fait j'ai oublié de supprimer ce paragraphe dont le contenu se trouve en fait dans les paragraphes IV.5.4 et IV.5.5.

Une petite question sur les hyperréels : la construction présentée utilise l'ultrafiltre des ensembles de mesure 1, et il est mentionné que l'on peut faire cette construction avec n'importe quel ultrafiltre. Quel est l'impact du choix de l'ultrafiltre sur la construction ?

En fait rien ne dit qu'il existe qu'une seule telle mesure, mais en tout état de cause, tous les ultrafiltres non principaux donnent des résultats isomorphes.

Merci encore de votre aide et de votre oeil de lynx.

[karlp]

Bonjour à tous

Je tenais tout simplement à remercier MM. Taladris, Silk78, Seirios,Telchar, Tigerfou et Mediat pour ce remarquable document, mis à la disposition de chacun (j'ai de quoi occuper mes dix prochaines années ).
Je ne sais comment vous exprimer mon admiration et ma gratitude.

(j'espère pouvoir repérer une faute de conjugaison ou une virgule mal placée )

[Médiat]

Bonsoir,

Nouvelle version avec les nombres définissables et les nombres calculables (en un seul chapitre).

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***

[invite14e03d2a]

100 pages!

J'ai lu avec intérêt la partie sur les nombres définissables et calculables. Cela donne envie de se plonger dans les références.

J'ai noté une petite faute de frappe: Partie IV.2.6: "Au lieu de donner une démonstration...", ne doit-on pas lire "définition"?

[invite6754323456711]

100 pages!

J'ai lu avec intérêt la partie sur les nombres définissables et calculables. Cela donne envie de se plonger dans les références.

Je suis toutes les évolutions (ou plus exactement j'essaie à me faire une compréhension ...), j'en arrive à la question c'est quoi un nombre ... une construction abstraite ?

Patrick

[Médiat]

J'ai noté une petite faute de frappe: Partie IV.2.6: "Au lieu de donner une démonstration...", ne doit-on pas lire "définition"?

Oui, absolument, je corrige, merci.

[Médiat]

Bonjour,

j'en arrive à la question c'est quoi un nombre ... une construction abstraite ?

En tout état de cause, en tant que fomaliste, je ne vois pas ce que cela pourrait être d'autre .

A un moment ou à un autre je devrais épaissir le premier paragraphe.

Ma démarche a été de partir de IN et de voir quelles questions on peut se poser à partir de là. Puis d'ajouter (en tant que logicien) ce que ZF(C) peut apporter à ces questions.

[invite6754323456711]

A un moment ou à un autre je devrais épaissir le premier paragraphe.

J'ai une question sur cette première partie. Pourquoi la symétrie se définit ∀(x, y) ∈ E² , (xRy) ⇒ (yRx) et non ∀(x, y) ∈ E² , (xRy) <⇒ (yRx) ? L'Antisymétrie étant une restriction de la Symétrie, seul les éléments en relation avec eux même sont symétrique ?


Patrick

[Médiat]

J'ai une question sur cette première partie. Pourquoi la symétrie se définit ∀(x, y) ∈ E² , (xRy) ⇒ (yRx) et non ∀(x, y) ∈ E² , (xRy) <⇒ (yRx) ?

Parce que c'est pareil .

L'Antisymétrie étant une restriction de la Symétrie

En quoi l'antisymétrie est-elle une restriction de la symétrie ?

seul les éléments en relation avec eux même sont symétrique ?

[invite6754323456711]

Parce que c'est pareil .

Oui. Syntaxiquement utiliser <==> apparaît plus symétrique que ==>.

En quoi l'antisymétrie est-elle une restriction de la symétrie ?

Seul les éléments (x = y) et (xRx) vérifient ((xRy) ∧ (yRx)) une lapalissade, mais (xRy) <⇒ (yRx) ne s'applique que si (x = y).

Patrick

[Seirios]

Pour les nombres calculable et définissable : en VI.2.3, "bien sûr" et "la très grosse majorité" ; en VI.2.4, une parenthèse n'est pas fermée ; en VI.2.5, "Muni". Je me demande également s'il ne faudrait pas renommé les sections VI.2.4 et VI.2.3, le premier concernant plutôt les opérations en général et le second des exemples plutôt qu'une construction de l'ensemble.

Sinon, pour le second paradoxe cité dans l'introduction, ne peut-on pas dire simplement que ?
Serait-il possible d'avoir une définition relativement simple d'une machine de Turing ?

[invite6754323456711]

Seul les éléments (x = y) et (xRx) vérifient ((xRy) ∧ (yRx)) une lapalissade, mais (xRy) <⇒ (yRx) ne s'applique que si (x = y).

Ce qui m'a interpellé c'est la définition de la notion d'ordre strict basée sur la propriété d'irréflexivité (∀x ∈ E, ¬(xRx) ) associé au commentaire : "ce qui entraine l’antisymétrie".

Patrick

[Médiat]

Ce qui m'a interpellé c'est la définition de la notion d'ordre strict basée sur la propriété d'irréflexivité (∀x ∈ E, ¬(xRx) ) associé au commentaire : "ce qui entraine l’antisymétrie".

Attentio : irreflexivité et transitivité entraîne l'antisymétrie !

[Médiat]

Pour les nombres calculable et définissable : en VI.2.3, "bien sûr" et "la très grosse majorité" ; en VI.2.4, une parenthèse n'est pas fermée ; en VI.2.5, "Muni". Je me demande également s'il ne faudrait pas renommé les sections VI.2.4 et VI.2.3, le premier concernant plutôt les opérations en général et le second des exemples plutôt qu'une construction de l'ensemble.?

D'accord (et merci), sauf pour Muni qui concerne 2 ensembles.

Sinon, pour le second paradoxe cité dans l'introduction, ne peut-on pas dire simplement que

C'est la conclusion, mais c'est paradoxal (au sens contraire au bon sens) que tous les entiers soient remarquables.

Serait-il possible d'avoir une définition relativement simple d'une machine de Turing ?

Page 13 du deuxième document, vous avez une définition formelle.
Une machine de Turing est un modèle d'ordinateur capable de mettre en oeuvre des algorithmes.

[Seirios]

sauf pour Muni qui concerne 2 ensembles.

Désolé, j'avais mal lu la phrase.

age 13 du deuxième document, vous avez une définition formelle.
Une machine de Turing est un modèle d'ordinateur capable de mettre en oeuvre des algorithmes.

Merci, je vais aller voir ça.

[karlp]

Bonjour
Je dois d'abord vous exprimer mon mécontentement pour me détourner ainsi de mon travail habituel, la tentation est trop forte

J'ai lu (attentivement)le début de l'introduction (jusqu'à la définition d'ordre strict total) du document qui est d'une limpidité confondante.

Le lecteur naïf que je suis se pose deux questions:

- (page 5) Est-ce que le fait d'admettre un élément symétrique pour la loi * entraine la propriété "être régulier"?
Il me semble que celà se déduit de la différence entre "groupe" et "semi-groupe" (mais cela n'est pas intuitif)

- (page 6) Comment écrit on la loi de composition externe ?

E X E complémentaire de E

ou : E X E (E ou complémentaire de E) ?

Le reste ne pose (pour l'instant) aucune difficulté (sauf erreur) pour un lecteur ignorant

[Médiat]

Bonjour,

- (page 5) Est-ce que le fait d'admettre un élément symétrique pour la loi * entraine la propriété "être régulier"?

Oui : si a*b = a*c, en composant à gauche par le symétrique de a on obtient a^-1*a*b = a^-1*a*c => b = c

- (page 6) Comment écrit on la loi de composition externe ?

E X E complémentaire de E

ou : E X E (E ou complémentaire de E) ?

Vous trouverez la définition en bas de la page 4 (avec un retour à la ligne mal-t-à-propos).

Cordialement

[karlp]

Bonjour Médiat

Oui : si a*b = a*c, en composant à gauche par le symétrique de a on obtient a^-1*a*b = a^-1*a*c => b = c

Absolument magnifique !

Vous trouverez la définition en bas de la page 4 (avec un retour à la ligne mal-t-à-propos).
Cordialement

(j'ai tellement coincé sur la question de savoir si lambda était un élément de K et x un élément de E que j'ai manqué l'essentiel!)
Mea culpa !

*Une autre difficulté (mais peut-être ai-je encore mal lu): est-ce qu'un "sous-groupe" (page 8 sur la définition des idéaux) a une structure de groupe (je comprend cette expression comme équivalente à "sous-ensemble ayant une structure de groupe")?

* Dans cette définition des idéaux, l'écriture donnée de l'idéal à gauche peut elle se lire:
"Pour tout couple (x,a),élément de I X A , (où x est un élément de I et a un élément de A ) ax est un élément de I " ?
Si cette lecture est correcte, est-ce que ax est bien "a multiplié par x" ?

(je me pose également la question - dont je ne serais pas surpris qu'elle paraisse stupide, naïve à tout le moins- de savoir pourquoi on dit idéal "à gauche"alors que le x est écrit à droitedu a ; si vous voulez produire une édition "pour les nuls" mes questions vous seront très utiles)

[karlp]

Si cette lecture est correcte, est-ce que ax est bien "a multiplié par x" ?

La suite me suggère que ceci est erroné

[Médiat]

Bonjour

*Une autre difficulté (mais peut-être ai-je encore mal lu): est-ce qu'un "sous-groupe" (page 8 sur la définition des idéaux) a une structure de groupe (je comprend cette expression comme équivalente à "sous-ensemble ayant une structure de groupe")?

Oui, c'est bien un "sous-ensemble ayant une structure de groupe"

* Dans cette définition des idéaux, l'écriture donnée de l'idéal à gauche peut elle se lire:
"Pour tout couple (x,a),élément de I X A , (où x est un élément de I et a un élément de A ) ax est un élément de I " ?
Si cette lecture est correcte, est-ce que ax est bien "a multiplié par x" ?

Oui ; je vais améliorer les notations de ce paragraphe, afin de ne pas confondre la variable x et le symbole de la multiplication.

(je me pose également la question - dont je ne serais pas surpris qu'elle paraisse stupide, naïve à tout le moins- de savoir pourquoi on dit idéal "à gauche"alors que le x est écrit à droite du a ; si vous voulez produire une édition "pour les nuls" mes questions vous seront très utiles)

Parce que c'est la multiplication "à gauche" d'un élément de I qui est dans I. Je vais réfléchir à une formulation plus intuitive.

[karlp]

Bonjour
1) Oui, c'est bien un "sous-ensemble ayant une structure de groupe"

2) Oui ; je vais améliorer les notations de ce paragraphe, afin de ne pas confondre la variable x et le symbole de la multiplication.

3) Parce que c'est la multiplication "à gauche" d'un élément de I qui est dans I. Je vais réfléchir à une formulation plus intuitive.

1) Je suis heureux

2) la calligraphie du document n'induit pas de confusion (je crois). Ce qui m'a troublé c'est seulement la proximité de "A" et de "(ax élément de I)"

3) Si je parviens à comprendre je pourrais essayer de proposer une formulation pour le lecteur naïf.

Merci et très bonne soirée !

[karlp]

Je savais que je pourrais corriger une ou deux parenthèses

*Page 8; Définition Anneau quotient , deuxième ligne : (x - y )élément de I

*5 lignes plus bas (Définition : Lois de composition interne dans un anneau quotient, troisième ligne ): il y a deux parenthèses ouvertes pour une parenthèse fermée (ce qui me pose une difficulté de compréhension ici, ce qui n'est pas le cas pour les deux autres fautes de frappe).

*Même page , dans "Remarque importante", troisième ligne : deux parenthèses ouvertes pour une fermée.