Suites adjacentes

[invitea8b8e1ae]

Bonjour,

J'ai un exercice où je dois montrer que les suites U et V sont adjacentes (voir pièce jointe).

Je sais comment procéder :
- Calculer les termes en n+1 des deux suites
- Faire pour chaque suite la différence Un+1 - Un
- Si cette différence est positive la suite est croissante, si elle est négative, elle est décroissante.
- Faire la différence des deux suites et montrer que celle-ci tend vers 0.

Mon premier problème réside dans le fait que je trouve deux suites décroissantes...

Voici ce que je trouve, où me suis-je trompée ?

Un+1 = 1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1) - ln(n+1)
Un+1 - Un = 1/(n+1) - ln(n²+n) < 0 ----> U est décroissante

Vn+1 = 1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1) - ln(n+2)
Vn+1 - Vn = 1/(n+1) - ln(n²+3n+2) < 0 ----> V est décroissante

Merci d'avance de votre aide
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il y a une erreur de calcul dans tes logarithmes ; par exemple :



donc :

[invitea8b8e1ae]

Haa en effet, voici donc ma correction :

Un+1 = 1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1) - ln(n+1)
Un+1 - Un = 1/(n+1) - ln[1-(1/(n+1))] < 0 ----> U est décroissante

Vn+1 = 1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1) - ln(n+2)
Vn+1 - Vn = 1/(n+1) - ln[1-(1/(n+2))] < 0 ----> V est décroissante

Elles sont toujours toutes les deux décroissantes non ?

[invite57a1e779]

Je préfèrerais :



donc :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e16d2ef]

essaye de faire Un+1/Un et Vn+1/Vn c'est moins compliquer et compare les a 1

et rappelle toi que ln(ab)=ln(a)+ln(b)
ou ln(a+1)<a

[invitea8b8e1ae]

Haaa super merci ! Oui c'est en effetn je me suis encore trompée. Un est ainsi croissante et Vn décroissante.
Vn-Un = ln (1+1/(n+1)) ce qui tend vers 0.

Les deux suites sont donc bien adjacentes.

Merci beaucoup pour ton aide et ta rapidité, très apréciable !