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besoin d'aide pour une démonstration



  1. #1
    aleexx

    besoin d'aide pour une démonstration


    ------

    Bonsoir a tous, voila j'ai un exercice qui consiste a démontrer qu'une fonction F continue sur R et qui s'annule en tout point de
    Q est egale a 0.

    J'aissaie de le démontrer mais j'ai du mal ...

    Soit (un) une suite a valeur dans Q qui tend vers a en l'infini.
    Soit (vn) une autre suite a valeur dans R-Q qui tend vers a en l'infini

    (c'est possible car Q et R-Q sont dense dans R)

    la fonction F est continue donc lim F(un) en + l'inf = L
    et lim F(vn) en + l'inf = L'.

    or F s'annule en tout point de Q. comme un est a valeur dans Q, lim F(un) = 0 en + l'infini.

    Mais comme la fonction est continue, alors lim F(vn) = lim (un) = 0.


    J'ai l'impression d'y etre presque mais je bloque pour moi la c'est pas bon ...


    Si vous pouvez me guider vers la fin ... ? est-ce que l'on peu finir ma methode ou alors je pars pas dans la bonne direction ?

    Merci

    -----

  2. #2
    jobherzt

    Re : besoin d'aide pour une démonstration

    Salut, la continuité te dit surtout que f(un) et f(vn) tendent toutes les deux vers f(a). En fait il me semble que tu n'as meme pas besoin de la 2e suite : il suffit de prendre une suite de rationnels qui tend vers un réel quelconque a, par continuité tu obtiens que f(a)=0.

  3. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : besoin d'aide pour une démonstration

    salut, puisque tu sais que Q est dense dans R, tu peux utiliser le fait que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermée. Or {0} est fermé et son image réciproque contient Q, elle contient donc l'adhérence de Q, qui est R.

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