besoin d'aide pour une démonstration

[inviteaa7fccc7]

Bonsoir a tous, voila j'ai un exercice qui consiste a démontrer qu'une fonction F continue sur R et qui s'annule en tout point de
Q est egale a 0.

J'aissaie de le démontrer mais j'ai du mal ...

Soit (un) une suite a valeur dans Q qui tend vers a en l'infini.
Soit (vn) une autre suite a valeur dans R-Q qui tend vers a en l'infini

(c'est possible car Q et R-Q sont dense dans R)

la fonction F est continue donc lim F(un) en + l'inf = L
et lim F(vn) en + l'inf = L'.

or F s'annule en tout point de Q. comme un est a valeur dans Q, lim F(un) = 0 en + l'infini.

Mais comme la fonction est continue, alors lim F(vn) = lim (un) = 0.


J'ai l'impression d'y etre presque mais je bloque pour moi la c'est pas bon ...


Si vous pouvez me guider vers la fin ... ? est-ce que l'on peu finir ma methode ou alors je pars pas dans la bonne direction ?

Merci
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[invitebe0cd90e]

Salut, la continuité te dit surtout que f(un) et f(vn) tendent toutes les deux vers f(a). En fait il me semble que tu n'as meme pas besoin de la 2e suite : il suffit de prendre une suite de rationnels qui tend vers un réel quelconque a, par continuité tu obtiens que f(a)=0.

[invite986312212]

salut, puisque tu sais que Q est dense dans R, tu peux utiliser le fait que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermée. Or {0} est fermé et son image réciproque contient Q, elle contient donc l'adhérence de Q, qui est R.