norme d'une application

[invitee3a166e0]

Bonjour à tous, et bonne année !

Bon comme vous vous en doutez j'ai un problème en maths, qui est le suivant :
J'ai une application f(x,y)= 9 (x+y, x).
Son application réciproque est, si je ne me trompe pas :
f^(-1) = 1/9(y, x-y)

On me dit que l'espace R² est munis de la norme infini ||x||=sup(|x|,|y|).

Et l'on me demande de montrer que ||f^(-1)||= 2/9.
Ce que je n'arrive pas à faire.

On me donne comme indication de montrer tout d'abord que ||f^(-1)||≤ 2/9, et puis de calculer f^(-1) en (1, -1) pour conclure.

Moi perso, je vois pas. Donc si quelqu'un pouvait avoir l'amabilité de m'apporter la solution . . .

Merci par avance !
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[invitec317278e]

quelle est la définition de ||f^(-1)|| ? reviens à la formule qui permet de la calculer le plus simplement

[invite57a1e779]

Quelle est la définition de ||f^(-1)|| ?

[invitee3a166e0]

||f^(-1)|| = sup (|y/9|,|(x-y|)/9)

C'était sa la question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

le sup pour x et y qui ont quelle propriété ?

si c'est x et y quelconques, alors, le sup vaut manifestement l'infini

[invitee3a166e0]

Oula, je pense que j'ai mal expliqué le problème . . .
Le voilà dans son contexte original :

http://www.math.jussieu.fr/~gerard-v...am_2010_2S.pdf

Exercice 3, question 2.

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Oula, je pense que j'ai mal expliqué le problème . . .
Le voilà dans son contexte original : [...]

Tu as parfaitement bien expliqué ton problème, mais tu ne connais pas ton cours parfaitement

Notamment ta définition de n'a pas de sens.

Quelle est la définition de la norme subordonnée d'une fonction ? Dans le cas où la norme sur est la norme infinie, sous quelle formule simple se réduit la norme subordonnée associée ?

Cordialement,

G.

[invitee3a166e0]

Hum . . . Je viens de regarder mon cours, mais je vois pas . . .
Je dois dire que puisque je suis en dimension finie, et bien toutes les normes sont équivalentes ? Ou quelque chose dans ce gout là ?

[invitee3a166e0]

||f^(-1)|| = sup (||f-1(x,y)||1/||(x,y)||infini)

Je sais pas si ma formule est trés clair . . .
On la norme 1 et la norme infini.

Il me semble que c'est sa la norme subordonnée. Et donc du coup, j'aurais :
||f-1(x,y)||1/||(x,y)||infini = 1/9 * ||y,x-y||/(sup(|x|,|y|)≤ 2/9

C'est sa ?

[invitec317278e]

||f^(-1)|| = sup (||f-1(x,y)||1/||(x,y)||infini)

voilà qui est mieux !

1/9 * ||y,x-y||/(sup(|x|,|y|)≤ 2/9

c'est effectivement cette inégalité que tu dois prouver pour commencer

[invitee3a166e0]

Et c'est là que je bug maintenant. Comment prouver :
1/9 * ||y,x-y||/(sup(|x|,|y|)≤ 2/9 ?

Je suppose qu'il faut prouver que ||y,x-y||/(sup(|x|,|y|)≤2, mais comment, je vois pas.
En fait, la question que je me pose est la suivante : Quand on dit que
||.|| est la norme d'application linéaire subordonnée à ||.||infini, la norme infinie concerne l'espace d'arrivée ou de départ ?
Je sais pas si je suis clair . . .
Si sa concerne les deux espaces, sa veut dire que ||y,x-y|| = sup (|y|, |x-y|). Et du coup je crois que j'ai bien ||y,x-y||/(sup(|x|,|y|)≤2, mais je suis pas très sur, et je sais même pas comment le démontrer proprement . . .

[invitec317278e]

tu peux par exemple traiter d'abord le cas où sup(|x|,|y|)=|x| puis faire de même avec |y|

ici ton espace d'arrivée est le même que ton espace de départ, avec implicitement la même norme !! donc ||y,x-y|| = sup (|y|, |x-y|)