La différentiabilité d'une norme

[invite83c1e388]

bonjour
svp j'ai besoin de votre aide, il s'agit dun exo sur la differentiabilité d'une norme
E est une espace de Banach muni d'un produit scalaire <,> on pose : R(x) = la norme de x = <x,x> ^(1/2)
comment je montre qu'elle differentielle en tout x different de 0
pour sa differentielle j'ai calculé R(x+h)- R(x) et en utilisant l'inégalité de minkowski j'ai trouvé ke c'est < ou = à <h,h>^(1/2) est ce que c'est juste?
j'ai utilisé aussi la deuxieme methode comme composé de deux fonctions la premiere c'est le produit scalaire et la deuxieme c'est racine de x mais j me suis bloquée
je vous remercie
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[invite83c1e388]

svp j'ai besoin de votre aide

[invite3c68aec2]

La différentielle d'une norme euclidienne au point x est la forme linéaire h-> <x,h> .

[Verdurin]

La différentielle d'une norme euclidienne au point x est la forme linéaire h-> <x,h> .

C'est presque ça. Pour un exemple on peut voir la distance usuelle dans

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c68aec2]

C'est presque ça. Pour un exemple on peut voir la distance usuelle dans

Euh même pas presque, C'EST ça. (certes il faurdrait peut-être juste préciser que c'est pas diiférentiable en 0 )
Si t'en connais d'autres faut m'appeler.

Pour t'en convaincre, tu peux par exemple develloper le terme ||x+h||^2 et regarder quel est le terme d'ordre1 en h.

[Flyingsquirrel]

Euh même pas presque, C'EST ça.

Non, si tu prends l'exemple de la valeur absolue (qui est la norme sur issue du produit scalaire classique) tu es en train de dire que sa dérivée vaut, au point , ce qui est, en général, faux.

j'ai utilisé aussi la deuxieme methode comme composé de deux fonctions la premiere c'est le produit scalaire et la deuxieme c'est racine de x mais j me suis bloquée

Si je note la fonction racine carrée et , on a donc pourvu que soit différentiable en et que soit différentiable en . Il faut donc calculer la différentielle de , la différentielle de puis les composer.

[invite83c1e388]

pour dP(x)h = <h,h> et dS(P(x))= d(S(<x,x>))
dR(x)h=d(S(<x,x>)(<h,h>)
c 'est juste ??

[Flyingsquirrel]

pour dP(x)h = <h,h>

L'application n'est pas linéaire car , ta différentielle est donc fausse.

c'est « la partie linéaire en » de . Il faut donc commencer par calculer cette différence :

La-dedans tu dois trouver le(s) terme(s) linéaire(s) en (vu ce que j'ai écrit plus haut, tu n'as pas tellement le choix ) et montrer que « ce qui reste » est un petit o de h.


Trouver la différentielle de l'application racine carrée est plus simple, il suffit de dire que comme c'est une fonction de dans , sa différentielle en est simplement la multiplication par (là où ce terme à un sens) : ... et calculer , c'est facile.

[invite3c68aec2]

Oups mea-culpa, un peu trop fatigué hier. J'ai oublié une petite ||x|| qui doit trainer mais tu peux reprendre le raisonnement proposé à la fin de mon dernier message

[invite83c1e388]

L'application n'est pas linéaire car , ta différentielle est donc fausse.


ce que tu as demontré au dessus c'est la bilinearité et le produit scalaire est bilineaire
c'est « la partie linéaire en » de . Il faut donc commencer par calculer cette différence :

La-dedans tu dois trouver le(s) terme(s) linéaire(s) en (vu ce que j'ai écrit plus haut, tu n'as pas tellement le choix ) et montrer que « ce qui reste » est un petit o de h.


Trouver la différentielle de l'application racine carrée est plus simple, il suffit de dire que comme c'est une fonction de dans , sa différentielle en est simplement la multiplication par (là où ce terme à un sens) : ... et calculer , c'est facile.

donc finalement je vais trouver <x,h>/R(x) et donc forcement elle doit etre differentielle en tout point different de zero
je vous remercie et Bonne Année