Exercice Espace Compact
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Exercice Espace Compact



  1. #1
    invitedc0d7d67

    Exercice Espace Compact


    ------

    Bonsoir

    Je ne sais pas trop comment résoudre la question suivante

    Soit X un espace topologique compacte. f et g deux fonctions continues sur X tel que
    f=>0, f(x) >0 si g(x)<=0

    Pour tout entier n, on définit An= {x de X | n.f(x)+g(x)<=0}

    Montrer que les An sont des fermés de X et qu'ils vérifient An+1 inclu dans An.

    Pour montrer que les An sont fermés, je dis que f et g continues donc la somme des deux est continue, et si phi(x) = n.f(x)+g(x) =>
    phi(x)-1(]-inf, 0]) donc fermé et que l'image réciproque d'un fermé par une application continu est un fermé, An est donc fermé.

    Pour montrer que la suite est décroissante, je ne sais pas trop comment faire....

    Merci de me dire si mon raisonnement est bon

    -----

  2. #2
    invitec317278e

    Re : Exercice Espace Compact

    Pour montrer que la suite est décroissante, je ne sais pas trop comment faire....
    il faut montrer que si on a alors on a aussi , sachant que f est positive...vraiment, tu ne vois pas ?

  3. #3
    invitedc0d7d67

    Re : Exercice Espace Compact

    En fait pour la suite décroissante je pensais
    montrer que An+1 - An <=0
    mais en calculant
    (n+1)f(x) + g(x) - n f(x) - g(x) = f(x) et f(x) > 0 (dans l'énoncé) donc je vois pas trop

    Merci

  4. #4
    invitec317278e

    Re : Exercice Espace Compact

    ??????
    je comprends pas, comment tu définis "An+1 - An <0"

    pour toi, on peut dire que des ensembles sont négatifs ? ça veut dire quoi ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitedc0d7d67

    Re : Exercice Espace Compact

    ça veut dire que je confonds surement les ensembles et les suites....
    c'est pas gagné !

  7. #6
    invite57a1e779

    Re : Exercice Espace Compact

    Je détaille la réponse de Thorin

    Pour démontrer que la suite , il faut établir, pour tout entier : , c'est-à-dire :



    et l'implication s'explicite sous la forme :

    ,

    ou encore :

    ,

    et cette dernière implacation est relativement facile à obtenir.

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