Exercice Espace Compact

[invitedc0d7d67]

Bonsoir

Je ne sais pas trop comment résoudre la question suivante

Soit X un espace topologique compacte. f et g deux fonctions continues sur X tel que
f=>0, f(x) >0 si g(x)<=0

Pour tout entier n, on définit An= {x de X | n.f(x)+g(x)<=0}

Montrer que les An sont des fermés de X et qu'ils vérifient An+1 inclu dans An.

Pour montrer que les An sont fermés, je dis que f et g continues donc la somme des deux est continue, et si phi(x) = n.f(x)+g(x) =>
phi(x)^-1(]-inf, 0]) donc fermé et que l'image réciproque d'un fermé par une application continu est un fermé, An est donc fermé.

Pour montrer que la suite est décroissante, je ne sais pas trop comment faire....

Merci de me dire si mon raisonnement est bon
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[invitec317278e]

Pour montrer que la suite est décroissante, je ne sais pas trop comment faire....

il faut montrer que si on a alors on a aussi , sachant que f est positive...vraiment, tu ne vois pas ?

[invitedc0d7d67]

En fait pour la suite décroissante je pensais
montrer que An+1 - An <=0
mais en calculant
(n+1)f(x) + g(x) - n f(x) - g(x) = f(x) et f(x) > 0 (dans l'énoncé) donc je vois pas trop

Merci

[invitec317278e]

??????
je comprends pas, comment tu définis "An+1 - An <0"

pour toi, on peut dire que des ensembles sont négatifs ? ça veut dire quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedc0d7d67]

ça veut dire que je confonds surement les ensembles et les suites....
c'est pas gagné !

[invite57a1e779]

Je détaille la réponse de Thorin

Pour démontrer que la suite , il faut établir, pour tout entier : , c'est-à-dire :



et l'implication s'explicite sous la forme :

,

ou encore :

,

et cette dernière implacation est relativement facile à obtenir.