espace compact
Bonjour, j'aurais deux petites questions (1) et (2), sur les espaces compact. Puisque un espace A est compacte si toutes les suites à valeurs dans A admettent une sous-suite convergente, peut-on en déduire que toutes les suites de A sont bornées (1) et que par conséquent A est un espace borné (2)?
Je vous remercie d'avance pour votre aide
Bonjour
voila une des définitions d'opérateure compact
Définition: Soientet
de
On note
Démonstration: Soit
donc on ne peut pas extraire aucune sous-suite convergente.
Alors A n’est pas compact (contradiction).Alors A est borné.
euh... poypoypoy parle d'espace compact, pas d'opérateur il me semble.
attention la caractérisation des espaces compacts en termes de suites n'est valable que pour les espaces métrisables. L'analogue dans le cas général utilise la notion de filtre.
je pence que je ne suit pas en bonne forme!!!!!!!!
désolé
Bon il est pas nécéssairement de parler de filtre pour répondre à la question : un espace topologique séparé est compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.
La notion "borné" fait appel à une distance (ou une norme). Soit (E,N) un espace norme, et une partie
(où B(0,n) est la boule ouverte de centre 0 et de rayon n ) recouvre A, au sens où
Par compacité, il existe
Et donc
puisque les B(x,n) sont croissants par inclusion. Et donc
Et la partie A est bien bornée. Voila il me semble que c'est la preuve la plus simple pour montrer que les compact d'un espace normé sont bornés
Pour la première partie de la question :
" peut-on en déduire que toutes les suites de A sont bornées "
Non. Une suite peut très bien admet une sous-suite convergente sans être bornée. Par exemple, dans R, on peut prendre
Il faut faire attention a ce genre d'argument qui paraissent juste...
Bonsoir,
Mais ta suite est à valeur dansEnvoyé par xav75
Non. Une suite peut très bien admet une sous-suite convergente sans être bornée. Par exemple, dans R, on peut prendre
pour la seconde partie de la question, le point (2), c'est vrai :
Il est clair que si A est bornée, toute suite de A est bornée
La réciproque se fait par contraposition. Dire que A n'est pas borné signifie
En particulier
On construit une suite (x_n) de A telle que x_n >= n pour tout n. D'ou le résultat.
Bref, en résumé : le résultat que tu cherchait a prouver est juste. L'étape (2) était bonne. L'étape (1) était fausse.
flyingsquirrel
euh, merde tu as raison... pfff je délire, bon si si c'est vrai ce truc, en raisonnant par l'absurde, on montre (avec les suite) qu'une partie compacte est bornée :
Si A n'est pas bornée, on constuit une suite x_n telle que ||x_n|| >n pour tout n. Cette suite ne peut avoir de sous-suite convergente puisque ||x_n|| tend vers l'infini. Ce qui contredit la compacité de A
Autant pour moi : (1) et (2) étaient bon.......
Bonjour
La définition de la compacité au sens de Bolzano-Weierstrass:
"un espace est compact si de toute suite de K on peut extraire une sous-suite convergente"
est parfaitement valable pour un espace topologique quelconque à condition de rajouter l'hypothèse que l'espace est séparé quand on est français (les anglo-saxons ne mettent pas l'hypothèse de séparation dans la définition d'un espace compact), sans la séparation on dit que l'espace est précompact.
Cette définition n'est équivalente à la compacité au sens de Borel-Lebesgue:
"un espace est compact si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un sous recouvrement fini"
que sous certaines hypothèses comme la métrisabilité de l'espace, la définition au sens de Borel-Lebesgue est équivalente à une définition en utilisant des filtres pour retrouver une "caractérisation séquentielle".
Aucune de ces notion n'est plus générale que l'autre, il existe des contre-exemples (plutôt compliqués) d'espace compacts au sens de Bolzano-Weierstrass qui ne sont pas compacts au sens de Borel-Lebesgue et inversement.
Si quelqu'un a une définition de partie bornée dans un espace non métrisable ça m'intéresse.
En attendant Si A est un espace métrique compact,on peut démontrer qu'il est borné ainsi que ses suites en utilisant directement la définition de Bolzano-Weierstrass.
On montre la contraposée: si A est un espace métrique non borné alors A n'est pas compact.
si A est non borné alors A est non vide (par ce que le vide est borné)
on peut choisir un élément x0 dedans
comme A n'est pas borné il existe un élément x1 qui est à distance au moins 1 de x0 (sinon A serait contenu dans la boule de centre x0 et de rayon 1). De même il existe un élément x2 qui est au moins à distance 1 de x0 et x1 (sinon A serait contenu dans la réunion des boules de rayon 1 de centres x0 et x1 et donc dans la boule de centre x0 et de rayon d(x0,x1)+1). Par récurrence on peut construire une suite (xn) telle que deux éléments de cette suite sont toujours à distance au moins 1. Ainsi, quelle que soit la sous-suite extraite, les éléments de la sous-suite sont à distance au moins 1 les un des autres et la sous-suite ne peut pas être de Cauchy et encore moins convergente.
Si A est un expace métrique qui contient une suite non bornée alors il est non borné et donc non compact.
enfin non l'étape (1) n'est pas clair... puisque A compact implique A bornée, tout les suites de A sont bornées
mais dire qu'une suite admettant une sous-suite convergente est borné est faux (voir le contre exemple)
je réitère : flyingsquirrel, écrit tel quel son raisonnement utilise qu'une suite admettant une sous-suite convergente est bornée... Il n'utilise la compacité juste pour l'existence de la sous-suite !
Dsl pour les messages en cascades : tu as la preuve de ton résultat par la définition de la compacité avec les recouvrement et avec la caractérisation séquentielle.
Kerlannais, je comprend pas ta définition d'un espace précompact. Pour moi, un espace métrique précompact est un espace métrique qui peut être recouvert par une famille finie de boules ouvertes de diamètre aussi petit que l'on veut.
Et pour moi un espace topologique non séparé qui vérifie ce que tu appel l'hypothèse de Borel-Lebesgue est "quasi-compacte".
Salut,
Oui,c'est ça quasi-compact
bonjour,
certe mais ce n'était pas ça l'hypothèse:envoyé par Xav75
dire qu'une suite admettant une sous-suite convergente est bornée est faux (voir le contre exemple)
donc si on peut extraire d'une suite de A une sous-suite divergente on doit pouvoir extraire de cette sous-suite une sous suite convergente, ce qui constitue une contradiction.envoyé par poypoypoy
toutes les suites à valeurs dans A admettent une sous-suite convergente
cordialement
Bonjour,
Il me semblait que cette discussion était close... Eregion, si j'ai bien compris l'argument :
- si (x_n) est une suite de A non bornée, je peux en extraire une sous-suite divergente
- mais alors, par compacité de A, cette sous-suite admettrait une sous-suite convergente, ce qui est absurde.
Ok, ca marche... toutefois écrit en une phrase, l'argument m'avait paru vaseux. D'autre part, il est plus rapide et plus clair de supposer A non bornée et de fabriquer une suite de A qui tend vers l'infini en norme. Ce qui a été fait plus haut... Pourquoi faire vaseux quand on peut faire clair ???
Cordialement
