Espace compact

[invite2e5fadca]

Bonjour, aujourd'hui je me suis reposé un petit problème que j'ai eu à mon partiel de topologie en janvier, et je n'avais pas réussi à y répondre, et je n'y arrive toujours pas plus :

Question 4 :
Soit X un espace qui n'est pas compact. Construire une application continue qui n'est pas bornée.

Précision :
A la question 1 on a construit une telle application pour un sous-espace métrique X non fermée (Il suffit de prendre un point a dans l'adhérence de X qui n'est pas dans X, et de poser f(x)=1/d(a,x)). A la question 2, on a en plus montré que l'application trouvé n'est pas uniformément continue. A la question 3, on n'a répondu aux mêmes questions pour un espace métrique X non complet (Il suffit de compléter X et d'effectuer le même raisonnement que ci-dessus).

Début de raisonnement :
X n'est pas compact, donc soit X n'est pas complet, soit X n'est pas précompact.
Si X n'est pas complet, on a déja effectué le raisonnement ci-dessus.
Si X n'est pas précompact, je suis bloqué...

Je voue remercie pour vos idées.
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[invite642cafc1]

Voilà un moyen d'exhiber une fonction recherchée. L'idée est de faire porter à une infinité de points ce que le "a" faisait tout seul.
->Si X n'est pas compact alors il existe une suite (x_n) d'éléments de X dont aucune sous-suite ne converge. (Contraposée d'une des caractérisation d'un espace métrique compact).
->Quitte à en prendre une sous-suite on peut supposer que tous les x_n sont distincts. (on élimine tous les rangs n' tels qu'il existe un rang inférieur n tel que x_n=x_n' ; c'est une sous-suite sinon la suite ne prend qu'un nombre fini de valeurs et une valeur est alors atteinte une infinité de fois et est limite d'une sous-suite ; une sous-suite d'une sous-suite étant une sous-suite la suite extraite vérifie bien, elle aussi, la propriété initiale)
->Le sous-espace X' formé par les x_n est alors discret. (Sinon on exhibe assez facilement une sous-suite qui converge vers un des x_n).
On note d_n une distance telle que B(x_n,d_n) n'intersecte X' qu'en x_n.
->B(x_n,d_n/2) et B(x_m,d_m/2) n'ont aucun point commun si n et m sont distincts. (Raisonnement par l'absurde en considérant la plus petite valeur entre d_n et d_m et en utilisant l'inégalité triangulaire).

On définit l'application f ainsi :
f(x)=0 si n'est dans aucun B(x_n,d_n/2)
Si x est dans B(x_n,d_n), on pose :


->f est bien définie et continue
f est continue sur les boules fermées B(x_n,d_n/2) car composée de fonctions continues.
f est continue sur le fermé X privé des boules ouvertes B(x_n,d_n)
La définition de f coïncide sur les intersections de ces fermés (seul ce dernier fermé peut en intersecter un autre et n'intersecte que des éléments à une distance d_n/2 d'un x_n donc f(x)=0 dans tous les cas).
->f n'est pas bornée
Puisque f(x_n)=n pour tout entier n.

[invite2e5fadca]

Merci, je trouve ca pas très facile. Fallait avoir une illumination pour trouver ca à l'examen.

Je te tire mon chapeur (même si je n'en ai pas).

Un grand merci, bonne journée.