Bonjour à tous,
Je me demandais si l'on pouvait généraliser la compactification d'Alexandroff, en enlevant l'hypothèse de compacité locale.
C'est-à-dire : Peut-on construire, pour un espace topologique (E,T) quelconque, un espace topologique compact (C,T') tel que E soit homéomorphe à une partie de C ?
Merci d'avance,
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
il me semble que non. Je raisonnerais comme suit:
soit x l'unique point de C\E et soit y dans E. Si C est séparé y admet un voisinage V qui ne contient pas x, donc qui est inclus dans E. Comme C est compact il est localement compact et donc tout point a un système fondamental de voisinages compacts. donc il existe un voisinage compact de y W inclus dans V. W et V sont des voisinages de y au sens de T' et au sens de T. Donc (E,T) est localement compact (sachant qu'on suppose en général qu'un espace compact est séparé, sinon je ne sais pas).
Effectivement, il est naturel que E soit localement compact, même si C\E n'est pas réduit à un unique point d'ailleurs.
Merci.
If your method does not solve the problem, change the problem.
En fait je dis n'importe quoi : on peut appliquer le même raisonnement si E est ouvert dans C, s'il n'est pas ouvert, on ne pourra pas trouver de voisinage des points de la frontière inclu dans E, donc E ne sera pas nécessairement localement compact.
Qu'en dis-tu ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut !
sauf erreur la CNS pour qu'un espace soit une partie d'un compact est qu'il soit "régulier" (c'est une condition de séparation).
une fois qu'on sais cela, le plongement ce fait par ce qu'on appelle la compactification de Stone Cech, qui est caractérisé par la propriété universelle suivante :
pour toute espace topologique X, il existe un compact K et une application continu i:X->K, tel que pour tout compact K' et toute application f:X->K' il existe une unique application g: K->K' tel que f=goi.
si mes souvenir sont bon i est un homéo sur son immage si et seulement si X est régulier.
pour confirmation, et plus de détail sur tout cela, je te renvoi au Bourbaki de topologie général (très bon bouquin)
Merci, j'irai voir ça.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Il n'y aurait pas moyen, un peu comme dans la construction du complété d'un espace métrique, de considérer l'ensemble des ultrafiltres sur un espace topologique X, étentuellement d'introduire un relation d'équivalence, d'identifier les éléments de X à la classe de l'ultrafiltre contenant le filtre des voisinages, puis d'introduire une topologie convenable sur X pour que l'identification entre X et l'espace quotient soit un homéomorphisme ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Oui, c'est quelque chose dans ce genre là effectivement... mais je ne me rappelle plus de la construction exacte.
va voir dans bourbaki, la construction sera explicité !
ce que je sais c'est que quand X est un espace topologique discret, alors son compactifié de stone-cech est exactement l'espace des ultrafiltre de X munie de sa topologie naturel (une base d'ouvert est donnée par les U_F = { ultrafiltre de X contenant F} pour toute les partie F de X...)
