Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie
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Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie



  1. #1
    Seirios

    Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai lu que sur un espace vectoriel topologique de dimension finie, il n'existe qu'une seule topologie, et j'aimerais savoir pourquoi.

    Je sais que si l'espace vectoriel est normé, alors comme il est de dimension finie, toutes les normes sur cet espace seront équivalentes, et définiront donc la même topologie.

    Mais qu'en est-il pour les topologies qui ne sont pas définies par rapport à une norme ?

    Merci d'avance,
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    KerLannais

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Bonjour,

    C'est faux puisque la topologie grossière est compatible avec la structure d'espace vectoriel (les seules contraintes sont que les applications somme et multiplication par un scalaire soient continues or toute application d'un espace topologique dans un espace topologique muni de la topologie grossière est continue quelque soit la topologie de l'ensemble de départ) et il y a des espaces vectoriels topologiques qui admettent d'autres topologies que la topologie grossière ( par exemple dont la topologie usuelle est séparée).
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  3. #3
    invite4ef352d8

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    évidement, il faut supposer que la topologie est séparé (et de bonne propriété topologique sur le corps de base, mais ca marche pour R et Qp ) sinon on a la donné suplaimentaire de l'adherence de 0 (qui peut-être n'importe quels sous ev) en plus de la structure algébrique.

    Je ne me rappel pas si il est nécessaire de supposer la topologie localement convexe pour que ca fonctionne. mais en tous cas dans le cas localement convexe on s'en sort en prenant une famille de séparante de semi norme (on peut la prendre fini gràace à l'hypothèse de dimension fini) le sup de cette famille est alors une norme qui est équivalente à la norme infinie et comme on peut faire ca avec n'importe qu'elle famille séparant de semi norme tout va bien !

  4. #4
    Arkhnor

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Bonjour.

    Dans le cas où le corps des scalaires est le corps des réels ou des complexes (le seul que je connaisse), ça marche sans hypothèses de locale convexité.
    Il suffit de prouver que toutes les formes linéaires sont continues. On peut s'y prendre par récurrence sur la dimension.
    Le cas de la dimension 1 ne pose pas trop de problèmes.
    Pour l'hérédité, si l'espace est de dimension , on considère une forme non nulle. Le noyau est un hyperplan , et donc est de dimension 1.
    Comme est de dimension et est séparé, l'hypothèse de récurrence s'applique : est isomorphe à , donc est complet, et est par conséquent fermé dans . (qui est séparé)
    Donc l'espace est un espace séparé de dimension 1. Par conséquent, d'après le cas de la dimension 1, la forme linéaire sur qui se déduit de par passage au quotient est continue. La forme est donc elle aussi continue.

    PS : Le défaut de cette preuve, c'est qu'il faut savoir ce qu'est une partie complète d'un EVT, et que si l'EVT est séparé, alors une partie complète est fermée. Ça demande quelques notions sur les filtres et les espaces uniformes ...
    Dernière modification par Arkhnor ; 18/10/2010 à 15h21.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite4ef352d8

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Ah oui c'est pas mal aussi comme argument, j'arrivais pas à le retrouver car je comprenais plus le lien entre "toute les forme linéaire sont continu" et "l'espace est isomorphe à K^n". mais c'était enfait trivial (l'application de K^n ->E existe et est continu parceque dimension fini, et l'application de E->K^n est continu car c'est un produit de forme linéaire...).

    Les hypothèse sur K pour que l'argument fonctionne sont donc : corps topologique séparé complet dont la topologie est minimal pour ces propriétés (la minimalité sert à traitez le cas de dimension 1, par exemple Q munie de sa topologie discrète est bien séparé complet, mais sa topologie n'étant pas minimal on peut trouver des Q-ev topologique de dimension 1 autre que Q, par exemple Q munie de la topologie induite par celle de R ou de Qp... )

  7. #6
    Arkhnor

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Je viens de jeter un coup d'oeil au livre de Schaeffer, il suppose que le corps est un corps valué complet, non discret. Je suppose que ce cas de figure est inclus dans le tien. (je ne connais pas grand chose aux corps topologiques, et encore moins aux EVT sur des corps topologiques ^^)

    Si on ne connait pas la complétude, je crois qu'il existe une preuve assez similaire à celle des espaces normés, avec un argument de compacité sur la sphère unité. Je peux y réfléchir ...

  8. #7
    Seirios

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Citation Envoyé par Ksilver
    évidement, il faut supposer que la topologie est séparé
    En fait, le cours dans lequel j'ai trouvé cette affirmation suppose que les espaces topologiques sont séparés, par commodité.

    Citation Envoyé par Arkhnor Voir le message
    Il suffit de prouver que toutes les formes linéaires sont continues. On peut s'y prendre par récurrence sur la dimension.
    Le cas de la dimension 1 ne pose pas trop de problèmes.
    Pour l'hérédité, si l'espace est de dimension , on considère une forme non nulle. Le noyau est un hyperplan , et donc est de dimension 1.
    Comme est de dimension et est séparé, l'hypothèse de récurrence s'applique : est isomorphe à , donc est complet, et est par conséquent fermé dans . (qui est séparé)
    Donc l'espace est un espace séparé de dimension 1. Par conséquent, d'après le cas de la dimension 1, la forme linéaire sur qui se déduit de par passage au quotient est continue. La forme est donc elle aussi continue.

    PS : Le défaut de cette preuve, c'est qu'il faut savoir ce qu'est une partie complète d'un EVT, et que si l'EVT est séparé, alors une partie complète est fermée. Ça demande quelques notions sur les filtres et les espaces uniformes ...
    Je ne suis pas encore arrivé à ce niveau en topologie, alors j'aimerais au moins comprendre l'idée de base de la démonstration : pourquoi suffit-il de montrer que toute forme linéaire est continue ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  9. #8
    invite4ef352d8

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Phy2 :

    on donne E de dimension fini, et on munie K^n de la topologie produit

    E étant de dimension fini, on fixe une base de E : (ei). l'application de K^n dans E, (xi) -> somme des ei.xi est continu.

    si toute forme linéaire est continu alors, l'application de E -> K^n qui a x associe les coordoné de x dans la base de E est continu car c'est une forme linéaire sur chaque composante (chaque composante est continu et donc la fonction est continu)


    bref toute les formes linéaire sont continu => E est isomorphe à K^n (c'est une equivalence en fait)

  10. #9
    Seirios

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Isomorphe dans quel sens ? Est-ce ici synonyme de homéomorphe ou bien y a-t-il un sens plus particulier ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #10
    Seirios

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    PS : Le défaut de cette preuve, c'est qu'il faut savoir ce qu'est une partie complète d'un EVT, et que si l'EVT est séparé, alors une partie complète est fermée. Ça demande quelques notions sur les filtres et les espaces uniformes ...
    Ce n'est pas assez étrange que l'on définisse la complétude d'un espace par les filtres, alors que l'on peut toujours définir la convergence d'une suite dans un espace vectoriel topologique ? (Pourquoi changer la définition ?)
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #11
    Arkhnor

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Isomorphe dans quel sens ? Est-ce ici synonyme de homéomorphe ou bien y a-t-il un sens plus particulier ?
    Bah ce qu'on veut montrer, c'est qu'il n'y a qu'un seul EVT de dimension finie, donc isomorphisme est ici à prendre au sens d'isomorphisme linéaire qui est en plus un homéomorphisme.
    On a pas besoin de toute cette théorie pour montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie est isomorphe à K^n autrement, si la topologie n'intervient pas ...

    Ce n'est pas assez étrange que l'on définisse la complétude d'un espace par les filtres, alors que l'on peut toujours définir la convergence d'une suite dans un espace vectoriel topologique ? (Pourquoi changer la définition ?)
    Tu sais définir une suite de Cauchy dans un espace topologique ?

    On peut définir néanmoins une suite de Cauchy dans un EVT, mais la convergence des suites de Cauchy ne donne pas la complétude, mais seulement la complétude séquentielle. (si l'espace est métrisable, alors c'est équivalent)
    Si on utilise des filtres, c'est pour récupérer des propriétés agréables de la complétude que l'on connait dans les espaces métriques, comme le fait qu'une partie complète est fermée.

  13. #12
    Seirios

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    D'accord, en admettant quelques résultats, je comprends la preuve.

    Merci pour vos réponses
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #13
    invite4ef352d8

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    phys2 : tu dois savoir que dans des espaces non métrisable la caractérisation séquentielle des fermé ne fonctionne plus :

    par exemple, si on regarde l'espace E des de fonction de R->R, munie de la "topologie de la convergence simple" (une base d'ouvert est donné par les ouvert de la forme {f | pour tout i de 1 à n, f(x_i) appartiens à U_i } ou x_i est une famille fini de réel et U_i une famille fini d'ouvert..., une suite converge pour cette topologie si et seulement si elle converge simplement)

    Si on note F le sous espace des fonction qui sont nul partout sauf peut-etre sur un sous ensemble dénombrable de R. alors il est facile de voir que :

    1) F est "séquentiellement fermé" (ie toute suite de F qui converge dans E converge dans F)
    2) F est dense dans E (tout ouvert non vide de la base rencontre E ! )

    ainsi il est claire que la notion de fermé et de séquentiellement fermé sont distinct.

    pour la complétude c'est pareil : si on admet (c'est vrai) que E est complet, alors il est claire que F est "séquentiellement complet" : une suite de cauchy de F converge dans E car E est complet, donc aussi dans F puisque F est séquentiellement fermé, mais on veut qu'un espace complet soit fermé dans totu espace séparé, donc ici on préférerait dire que F n'est pas complet ... d'ou la définition plus fine de la complétude pour des espace non métrique (il faut soit considérer les "filtre de cauchy" -c'est ce que fait bourbaki- soit des suite généralisé qui sont indéxé par n'importe qu'elle ensemble ordoné filtrant au lieu de juste les entier )

  15. #14
    Arkhnor

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    d'ou la définition plus fine de la complétude pour des espace non métrique (il faut soit considérer les "filtre de cauchy" -c'est ce que fait bourbaki- soit des suite généralisé qui sont indéxé par n'importe qu'elle ensemble ordoné filtrant au lieu de juste les entier )
    La complétude avec les nets est-elle équivalente à celle avec les filtres ?

  16. #15
    invite4ef352d8

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    J'ai jammais travaillé avec les nets, donc j'en ai pas une certitude absolue, mais ca m'étonnerai vraiment énormément que ca ne soit pas le cas. (en fait vu que la completude correspond à une propriété de fermeture universelle dans une bonne catégorie, et que la continuité et la fermeture par net ou par ultrafiltre sont équivalente, c'est quand même quasi sûr que c'est bien la même chose... )

  17. #16
    Arkhnor

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Moi non plus, je ne connais pas du tout les suites généralisées.

    Néanmoins, j'avais lu sur Wikipédia (donc à prendre avec des pincettes, surtout sur le thème de EVT, qui est abordé avec quelques erreurs), que l'espace des fonctions tests , muni de sa topologie limite inductive des , n'est pas complet au sens des nets.

    Si c'est vrai, alors il n'y a pas équivalence, puisqu'il est complet au sens des filtres.

  18. #17
    Seirios

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Citation Envoyé par Arkhnor Voir le message
    Il suffit de prouver que toutes les formes linéaires sont continues. On peut s'y prendre par récurrence sur la dimension.
    Le cas de la dimension 1 ne pose pas trop de problèmes.
    Pour l'hérédité, si l'espace est de dimension , on considère une forme non nulle. Le noyau est un hyperplan , et donc est de dimension 1.
    Comme est de dimension et est séparé, l'hypothèse de récurrence s'applique : est isomorphe à , donc est complet, et est par conséquent fermé dans . (qui est séparé)
    Donc l'espace est un espace séparé de dimension 1. Par conséquent, d'après le cas de la dimension 1, la forme linéaire sur qui se déduit de par passage au quotient est continue. La forme est donc elle aussi continue.
    J'ai du mal à voir l'argument qui fait que la continuité du quotienté de l implique la continuité de l. Cela me semble assez naturel, mais je ne trouve d'arguement rigoureux.
    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Les hypothèse sur K pour que l'argument fonctionne sont donc : corps topologique séparé complet dont la topologie est minimal pour ces propriétés (la minimalité sert à traitez le cas de dimension 1, par exemple Q munie de sa topologie discrète est bien séparé complet, mais sa topologie n'étant pas minimal on peut trouver des Q-ev topologique de dimension 1 autre que Q, par exemple Q munie de la topologie induite par celle de R ou de Qp... )
    J'aimerais savoir ce que tu entends par "topologie minimale pour ces propriétés" ? Et tu parles de corps topologique complet, mais un corps topologique est canoniquement muni d'une structure uniforme ou bien est-ce un ajout ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  19. #18
    Arkhnor

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Bonjour.

    Soit un espace topologique, et une relation d'équivalence sur . On munit de la topologie quotient, c'est-à-dire la topologie la plus fine qui rende continue la projection canonique .

    Alors, pour toute application à valeurs dans un espace topologique , est continue si et seulement si est continue.

    La preuve est simple, c'est un bon exercice.

    C'est une propriété analogue à celle de la topologique produit, sauf que ça marche dans "l'autre sens".

    (c'est en fait une propriété générale des topologies inductives/projectives)

  20. #19
    Seirios

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Citation Envoyé par Arkhnor Voir le message
    Soit un espace topologique, et une relation d'équivalence sur . On munit de la topologie quotient, c'est-à-dire la topologie la plus fine qui rende continue la projection canonique .
    Je suppose que tu voulais parler de la topologie la moins fine.
    Alors, pour toute application à valeurs dans un espace topologique , est continue si et seulement si est continue.

    La preuve est simple, c'est un bon exercice.
    Effectivement, je ne sais pas comment je suis passé à côté...

    Merci
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  21. #20
    Arkhnor

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Non, il s'agit de la topologie la plus fine. (la moins fine n'a aucun intérêt, il s'agit de la topologie grossière !)

  22. #21
    Seirios

    Re : Unicité de la topologie sur un espace vectoriel topologique de dimension finie

    Oui c'est exact, j'ai confondu avec les projections de la topologie produit...
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