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probleme suites arithmétiques



  1. #1
    skyline

    probleme suites arithmétiques


    ------

    bonjour, j' ai un dm pour demain et je suis coincé sur un problème:
    Trouver une suite arithmétique U telle que pour tout n > ou = à 1, on ait:
    U1+U2+...+Un=3n²+4n

    -----

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : probleme suites arithmétiques

    Bonsoir.

    Pars de la définition d'une suite arithmétique et remplace tous tes uk par leur expression (en fonction de u0 et de la raison).

    Bonne chance.
    Duke.

  4. #3
    Odie

    Re : probleme suites arithmétiques

    Salut,

    Comme a dit Duke ou bien directement en utilisant la formule qui donne la somme des termes d'une suite arithmétique (si vue en cours).

  5. #4
    skyline

    Re : probleme suites arithmétiques

    j' ai pas très bien compris ton explication.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    shokin

    Re : probleme suites arithmétiques

    Dans une suite arithmétique,

    U(n+1) = U(n) + a pour tout n naturel.

    Donc

    U(0) = U(0)
    U(1) = U(0) + a
    U(2) = U(1) + a = U(0) + 2a
    ...
    U(n) = U(0) + na (Na ! )

    Soit S(n) la somme des (n+1) termes allant de U(0) à U(n).

    Parmi ces n+1 termes, si on les additionne, on trouve :

    (n+1) fois U(0)
    (0+1+2+3+...+n) fois a

    Donc S(n) = (n+1)*U(0) + (0+1+2+...+n)*a.

    Or :

    0+1+2+...+n
    = 1+2+...+n
    = n(n+1)/2 [Démonstration par récurrence]

    Donc S(n) = (n+1)*U(0) + n(n+1)*a/2)

    C'est peut-être une piste.

    Ou une autre :

    S(n) = (n+1)*U(0) + n(n+1)*a/2) = 3*n^2 + 4

    S(n+1) = (n+2)*U(0) + (n+1)(n+2)*a/2 = 3*(n+1)^2 + 4

    Dans l'expression de gauche, on a ajouté de la première ligne à la deuxième ligne : 1*U(0) + 2n*(n+1)*a/2.

    Dans l'expression de droite, on a ajouté de la première à la deuxième ligne : 3(2n+1).

    Il faut donc résoudre l'équation :

    U(0) + 2n*(n+1)*a/2 = 6n+3

    laquelle a deux inconnues, U(0) et a, donc une infinité de solution, et doit être vérifiée pour tout n naturel.

    NB : je n'exclus pas d'être dans le champs.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  8. #6
    Romain BERTOUY

    Re : probleme suites arithmétiques

    Sinon à partir de la somme de 1 à n des termes de ta suite, tu peux faire un truc facile : faire la somme de 1 à n+1, c'est le S(n+1) de shokin (il suffit de remplacer n par n+1, soit 3(n+1)² + 4(n+1) )

    ensuite montre que S(n+1) = S(n) + 6n + 7

    puis montre que Un+1 = 6(n+1) + 1

    tu peux conclure sur Un


    ------------- vérif : ----------------

    Un = 6n + 1
    somme de Un de 1 à n = S(n) or somme de (6n) = 6*somme de n = 6*(n(n+1)/2) = 3n² + 3n et somme de 1 = n
    d'où S(n)=3n²+4n le compte est bon
    Romain

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  10. #7
    skyline

    Re : probleme suites arithmétiques

    j' ai pas très bien compris ton explication Romain.

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : probleme suites arithmétiques

    La même chose écrite différemment :
    u1 + u2 ... + u(n-1) = 3 (n-1)² + 4 (n-1)
    u1 + u2 ....+ u(n-1) + un = 3 n² + 4n
    Question : que vaut un ?

  12. #9
    Romain BERTOUY

    Re : probleme suites arithmétiques

    ma démarche consite à extraire Un+1 de la somme faisant S(n+1) tu remarque facilement que l'opération consite à rajouter le terme Un+1 c'est à dire S(n+1) = S(n) + Un+1 tu es d'accord ? Or tu connais S(n) et tu peux calculer S(n+1) donc on déduit Un+1
    Romain

  13. #10
    Azrem

    Re : probleme suites arithmétiques

    tu as du voir ce théorème:
    si U est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout n on a :
    Un = U0 + nr


    de plus vous avez surement calculé la somme U0 +...+Un

    et vous devez savoir que : Sn = (n+1)(U0+Un) / 2

    toi ce que tu cherches c'est: Sn-U0

    donc tu cherches r et U0 tel que :
    (n+1)(U0+Un) / 2 -U0 = 3n2 +4n

    tu développes tout ça et tu arranges le tout pour obtenir une équation de ce type : An2 +Bn =0

    comme cette équation doit etre vraie pour tout n , tu en déduis que A et B sont nuls. ce qui te donnera la raison r et le U0 que tu cherches.

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