probleme suites arithmétiques

[invite2ed6f877]

bonjour, j' ai un dm pour demain et je suis coincé sur un problème:
Trouver une suite arithmétique U telle que pour tout n > ou = à 1, on ait:
U1+U2+...+Un=3n²+4n
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Pars de la définition d'une suite arithmétique et remplace tous tes u_k par leur expression (en fonction de u₀ et de la raison).

Bonne chance.
Duke.

[inviteb85b19ce]

Salut,

Comme a dit Duke ou bien directement en utilisant la formule qui donne la somme des termes d'une suite arithmétique (si vue en cours).

[invite2ed6f877]

j' ai pas très bien compris ton explication.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Dans une suite arithmétique,

U(n+1) = U(n) + a pour tout n naturel.

Donc

U(0) = U(0)
U(1) = U(0) + a
U(2) = U(1) + a = U(0) + 2a
...
U(n) = U(0) + na (Na ! )

Soit S(n) la somme des (n+1) termes allant de U(0) à U(n).

Parmi ces n+1 termes, si on les additionne, on trouve :

(n+1) fois U(0)
(0+1+2+3+...+n) fois a

Donc S(n) = (n+1)*U(0) + (0+1+2+...+n)*a.

Or :

0+1+2+...+n
= 1+2+...+n
= n(n+1)/2 [Démonstration par récurrence]

Donc S(n) = (n+1)*U(0) + n(n+1)*a/2)

C'est peut-être une piste.

Ou une autre :

S(n) = (n+1)*U(0) + n(n+1)*a/2) = 3*n^2 + 4

S(n+1) = (n+2)*U(0) + (n+1)(n+2)*a/2 = 3*(n+1)^2 + 4

Dans l'expression de gauche, on a ajouté de la première ligne à la deuxième ligne : 1*U(0) + 2n*(n+1)*a/2.

Dans l'expression de droite, on a ajouté de la première à la deuxième ligne : 3(2n+1).

Il faut donc résoudre l'équation :

U(0) + 2n*(n+1)*a/2 = 6n+3

laquelle a deux inconnues, U(0) et a, donc une infinité de solution, et doit être vérifiée pour tout n naturel.

NB : je n'exclus pas d'être dans le champs.

Shokin

[invite0f5c0a62]

Sinon à partir de la somme de 1 à n des termes de ta suite, tu peux faire un truc facile : faire la somme de 1 à n+1, c'est le S(n+1) de shokin (il suffit de remplacer n par n+1, soit 3(n+1)² + 4(n+1) )

ensuite montre que S(n+1) = S(n) + 6n + 7

puis montre que Un+1 = 6(n+1) + 1

tu peux conclure sur Un


------------- vérif : ----------------

Un = 6n + 1
somme de Un de 1 à n = S(n) or somme de (6n) = 6*somme de n = 6*(n(n+1)/2) = 3n² + 3n et somme de 1 = n
d'où S(n)=3n²+4n le compte est bon

[invite2ed6f877]

j' ai pas très bien compris ton explication Romain.

[invitea3eb043e]

La même chose écrite différemment :
u1 + u2 ... + u(n-1) = 3 (n-1)² + 4 (n-1)
u1 + u2 ....+ u(n-1) + un = 3 n² + 4n
Question : que vaut un ?

[invite0f5c0a62]

ma démarche consite à extraire Un+1 de la somme faisant S(n+1) tu remarque facilement que l'opération consite à rajouter le terme Un+1 c'est à dire S(n+1) = S(n) + Un+1 tu es d'accord ? Or tu connais S(n) et tu peux calculer S(n+1) donc on déduit Un+1

[inviteea0d596d]

tu as du voir ce théorème:
si U est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout n on a :
U_n = U₀ + nr


de plus vous avez surement calculé la somme U₀ +...+U_n

et vous devez savoir que : S_n = (n+1)(U₀+U_n) / 2

toi ce que tu cherches c'est: S_n-U₀

donc tu cherches r et U₀ tel que :
(n+1)(U₀+U_n) / 2 -U₀ = 3n² +4n

tu développes tout ça et tu arranges le tout pour obtenir une équation de ce type : An² +Bn =0

comme cette équation doit etre vraie pour tout n , tu en déduis que A et B sont nuls. ce qui te donnera la raison r et le U₀ que tu cherches.