Bonjour,
On me demande de montrer que f(x)=Arctan√(1-sinx/1+sinx)
est périodique puis donner sa période notée T .
Je sais qu'il faut que: f(x)=f(x+T) et que quelque soit xє Df ; (x+T)є Df pour que la fonction soit periodique, mais je ne sais pas par où commencer.
Pourrier vous SVP m'aider à trouver la solution?
d'avance MERCI.
Bonjour, déterminons l'ensemble de définition.
Avant de dérouler essaye de le faire car ce n'est pas sorcier il suffit de regarder quand est-ce que la fonction est définie suivant x
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Le titre est très mal choisi, puisque arc tg n'est pas périodique.
C'aurait été "périodicité d'une fonction".
Par où commencer ? En dessinant la tronche de la fonction sur un papier brouillon, en partant du fait que sin est périodique de période 2 pi.
L'objectif étant de comprendre ce qui se passe, et de trouver la réponse par la même occasion, avant de formaliser une démonstration.
On peut aussi poser t = tan(x/2) et ça prend une tête sympa. Quelques précautions à prendre quand même.
Bonjour, je vous REMERCIE pour vos reponses.
Voice le domaine de def que j'ai trouvé : Df= U kєN ]-pi/2 + 2kpi ; pi/2 + 2Kpi] en utilisant le tableau de signes.
Pour la periodicité, je demontre en supposant que T=2pi :
1 ere condition: f(x)=f(x+2pi)
f(x+2pi) =arctan√{1-sin(x+2pi)}/{1+sin(x+2pi)}
= arctan √(1-sinx)/(1+sinx) ; puisque: sin(x+2pi)=sinx
= f(x)
2 eme condition (x+2pi)є Df
de Df on sait que : x> -pi/2 + 2kpi donc (x+2pi) > (-pi/2 + 2kpi)
de Df on sait que : x<= pi/2 + 2kpi donc(x+2pi) <= (pi/2 + 2kpi)
les 2 conditions sont verifées, donc f(x) est periodique de periode (2pi).
Pourriez vs me confirmer que cette demarche est bonne?
MERCI
Bonjour Jean paul,
est-il possible de me detailler un peu la methode que vous proposez?,je ne vois pas le debut du filje vous en REMERCIE
Il existe une formule qui donne sin(x) en fonction de t=tan(x/2) : sin(x) = 2t/(1+t²). C'est le moment de la sortir.
