[logique] Relations

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai dans mes notes de math :

Une relation R sur E est :

REFLEXIVE si pour tout x dans E : xRx
SYMETRIQUE si pour tout x,y dans E : xRy => yRx
ANTISYLETRIQUE si pour tout x,y dans E : (xRy et yRx) => x = y
TRANSITIVE si pour tout x,y,z dans E : (xRy et yRz) => xRz
COMPLETE si pour tout x,y dans E : xRy ou yRx

Bon alors, si j'essaie avec la relation > (plus grand que) sur IR :

Elle n'est pas reflexive car il n'existe aucun réel qui est plus grand que lui même
Elle n'est pas symétrique non plus car si x > y alors y n'est pas > x.
Elle n'est pas antisymérique car x > y et y > x ne peuvent être vrai en même temps.
Elle est transitive car si x > y et si y > z alors x > z
Elle est complète car pour deux réel distinc x et y on a x > y ou y > x

Est-ce que c'est bon ce que je viens de dire la ?

merci
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[invite6f0362b8]

Ya tout la

Relation d'ordre

[GuYem]

Bonjour,

J'ai dans mes notes de math :



Bon alors, si j'essaie avec la relation > (plus grand que) sur IR :

1) Elle n'est pas reflexive car il n'existe aucun réel qui est plus grand que lui même
2) Elle n'est pas symétrique non plus car si x > y alors y n'est pas > x.
3) Elle n'est pas antisymérique car x > y et y > x ne peuvent être vrai en même temps.
4) Elle est transitive car si x > y et si y > z alors x > z
5) Elle est complète car pour deux réel distinc x et y on a x > y ou y > x

Est-ce que c'est bon ce que je viens de dire la ?

merci

1) C'est bon

2) C'est bon

3) ça se corse! Comme on te l'a fait remarquer dans un topic précédent, le faux implique n'importe quoi.
Ici il faut regarder l'implication (y>x et x<y) ==> x=y.
Or la première proposition est clairement fausse, donc l'implication est vraie
Donc < est antisymétrique

4) C'est bon

5) Raté : dans la définition de complète il y marqué qu'on doit pouvoir comparer n'importe quels duo d'éléments. Or avec < on ne peut pas comparer 3 et 3 par exemple.
Ce que tu as dit est juste mais tu as bien précisé "disctincts". Nous on veut pouvoir les comparer même si ils ne sont pas distincts.

[inviteea0d596d]

tu as tout bon.

edit: Guyem a raison.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah oui je comprend mes erreurs. Je n'ai pas été assez rigoureux en gros ...

Bon, mettons que je réessaye avec le relation = dans IR

1) Elle est réflexive
2) Elle est symétrique
3) Elle est antisymétrique car :

soit x et y sont égaux et alors on a vrai => vrai
soit x et y ne sont pas égaux et alors on a faux => faux

dans les deux cas on tombe sur vrai.

4) Elle est transitive car (si x = y et y = z alors x = z)
5) Elle n'est pas complète car pour un couple de réel, si on n'a pas (x = y) alors on n'a forcément pas (y = x)

C'est bon ça ?

merci

P.S. :J'espère que ça ne dérange pas que je pose des questions comme ça pour vérifier que j'ai bien assimiler ma matière ...

[GuYem]

Cette fois t'as tout bon et tu ne déranges pas

Essaye avec ; c'est la plus utilisée

Essaye aussi avec l'ensemble des parties d'un ensemble E et la relation d'inclusion.

Tu nous en diras des nouvelles

[Bleyblue]

Ok super

est :

1) Réflexive car pour tout x réel on a x x
2) Non symétrique
3) Antysimétrique car

soit x = y et alors on a (vrai) => (vrai)
soit x est différent de y et alors on a (Faux) => Faux

4) Transitive
5) Complète car pour tout x,y on a soit x y soit y x et les deux sont vrai si x = y.

Pour l'ensemble des parties d'un ensemble et je suis bcp moins sûr de moi mais j'essaye :

1) Réflexive car un ensemble (une partie d'ensemble est toujours un ensemble) est toujours inclu a lui même (non ?)

2) Non symétrique car si A est inclu dans B, B ne peut pas être inclu dans A (sauf dans le cas particluier ou A et B ne forment qu'un seul ensemble)

3) Asymétrique car on a soit :

(Faux) -> (Faux)
(Vrai) -> (Vrai)

4) Transitive car si x est inclu dans y et y dan z alors x est inclu dans z aussi

5) Non complète car pour deux sous ensembles on n'a pas forcément A inclus dans B OU B inclus dans A.

Voilà

merci !

[GuYem]

T'as tout bon encore, bien joué

[Bleyblue]

Ah bien, donc apparament j'ai bien assimilé

merci beaucoup !