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Suite , monotonie



  1. #1
    KaiSerBoGgDaMoN

    Suite , monotonie

    Salut tout le monde j'aimerais savoir comment il faut faire pout trouver la monotonie de cette suite je ne m'en rapelle plus...aidez moi svp

    u_(0) = 0


    U_(n+1) = (1/2)u_(n) + 2

    merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Penelope20k

    Re : Suite , monotonie

    définition:

    On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante

    Pour la croissance il faut prouver que u(n+1) >= Un
    decroissance u(n+1)<= Un

    donc calculer Un+1 - Un et trouver sont signe

    + -> croissante
    - -> decroissante

  4. #3
    KaiSerBoGgDaMoN

    Re : Suite , monotonie

    Merci
    mais apres on se retrouve avec u_(n+1) - u_(n) = (-1/2)u_(n) +2
    et on fait comment pour trouver le signe de ca sans savoir le signe de (un) tout seul ?

  5. #4
    Penelope20k

    Re : Suite , monotonie

    tu doit obtenir

    -Un/2 + 2

    donc tu calcule

    -Un/2 +2 <=0 ---> ca te donne un certain Un ?

    -Un/2 + 2 >=0 ------> un certain Un


    Et apres tu calcule les premiers valeurs de Un

    u0 u1 u2 u3 ..

    a partir de la tu poura dire que la serie Un est monotone (de)croissante a partir du rang m

  6. #5
    GuYem

    Re : Suite , monotonie

    Eh bien on est embété

    Ici cette technique a l'air pas top.

    Alors il faut en changer : essaye de voir sur les premiers termes si la suite a l'air croissante ou décroissante. Une fois que tu t'es fait une idée, essaye de montrer par récurrence que c'est la bonne.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    shokin

    Re : Suite , monotonie

    Cherche la limite de u(n) quand n tend vers l'infini...

    tit truc : pour quel x, x/2 + 2 = x ?

    Dans une suit affine (où U(n+1) = a*U(n)+b),

    quand n tend vers l'infini,
    U(n) tend vers a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

    (que je vous laisse démontrer si ça vous dit)

    Suffit alors de remplacer U(0) par 0, a par 1/2 et b par 2 !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  10. #7
    Penelope20k

    Re : Suite , monotonie

    Citation Envoyé par shokin
    Cherche la limite de u(n) quand n tend vers l'infini...

    tit truc : pour quel x, x/2 + 2 = x ?

    Dans une suit affine (où U(n+1) = a*U(n)+b),

    quand n tend vers l'infini,
    U(n) tend vers a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

    (que je vous laisse démontrer si ça vous dit)

    Suffit alors de remplacer U(0) par 0, a par 1/2 et b par 2 !

    Shokin
    pas d'accord ...

    c'est pas parceque ma limite est infini + , que ma serie est croissante ...

  11. #8
    KaiSerBoGgDaMoN

    Re : Suite , monotonie

    Arf je suis désolé mais je trouve pas, la premiere question était de démontrer ke (un) est bornée entre 0 et 4 et ca j'ai réussi..mais la monotonie...

  12. #9
    Penelope20k

    Re : Suite , monotonie

    signe de Un+1 - Un = -Un/2 +2

    positif si 2 - Un/2 >=0 ------> 4 > Un (d'ou la croissance) (eq a)

    négatif si 2 -Un/2 <=0 ----> 4 < Un (d'ou la decroissance)


    puisque tu as demontrer que la suite est bornée par 0,4 .; alors par definition 0 < Un < 4 ....

    or l'eq a te dis si Un< 4 alors U(n+1)-Un est positif .. donc Un+1 > Un ..;donc la suite est monotone croissante

  13. #10
    KaiSerBoGgDaMoN

    Re : Suite , monotonie

    A ouaii merci beaucoup Pénélope ^^ @+

  14. #11
    shokin

    Re : Suite , monotonie

    Citation Envoyé par Penelope20k
    pas d'accord ...

    c'est pas parceque ma limite est infini + , que ma serie est croissante ...
    Je n'ai pas dit que la limite était croissante à cause de l'existence d'une limite réelle quand n tend vers l'infini. J'ai juste indiqué comment trouvé cette limite, qui existe en l'occurence.

    U(n+1)-U(n) = 1/2 * U(n) + 2 - U(n)
    = -1/2 U(n) + 2

    Il faudrait alors démontrer que U(n) est strictement inférieur à 4 pour tout n naturel.

    f(n)=U(n) = a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

    f'(n) = ln(a) * a^n * U(0) + b/(a-1) * ln(a) * a^n

    Si je remplace U(0), a et b respectivement par 0, 1/2 et 2 :

    f'(n) = ln(1/2) * (1/2)^n * 0 + 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
    = 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
    = -4 * ln(1/2) * (1/2)^n

    Ce produit est toujours strictement positif car :

    1) -4 est strictement négatif
    2) ln(1/2) est strictement négatif
    3) (1/2)^n est strictement positif pour tout n naturel

    Donc f'(n)>0 pour tout n naturel.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  15. #12
    Penelope20k

    Re : Suite , monotonie

    Citation Envoyé par shokin
    Je n'ai pas dit que la limite était croissante à cause de l'existence d'une limite réelle quand n tend vers l'infini. J'ai juste indiqué comment trouvé cette limite, qui existe en l'occurence.

    U(n+1)-U(n) = 1/2 * U(n) + 2 - U(n)
    = -1/2 U(n) + 2

    Il faudrait alors démontrer que U(n) est strictement inférieur à 4 pour tout n naturel.

    f(n)=U(n) = a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

    f'(n) = ln(a) * a^n * U(0) + b/(a-1) * ln(a) * a^n

    Si je remplace U(0), a et b respectivement par 0, 1/2 et 2 :

    f'(n) = ln(1/2) * (1/2)^n * 0 + 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
    = 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
    = -4 * ln(1/2) * (1/2)^n

    Ce produit est toujours strictement positif car :

    1) -4 est strictement négatif
    2) ln(1/2) est strictement négatif
    3) (1/2)^n est strictement positif pour tout n naturel

    Donc f'(n)>0 pour tout n naturel.

    Shokin



    Ouiii ............

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