Suite , monotonie

[invite6a28eabc]

Salut tout le monde j'aimerais savoir comment il faut faire pout trouver la monotonie de cette suite je ne m'en rapelle plus...aidez moi svp

u_(0) = 0


U_(n+1) = (1/2)u_(n) + 2

merci d'avance
-----

[invite6f0362b8]

définition:

On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante

Pour la croissance il faut prouver que u(n+1) >= Un
decroissance u(n+1)<= Un

donc calculer Un+1 - Un et trouver sont signe

+ -> croissante
- -> decroissante

[invite6a28eabc]

Merci
mais apres on se retrouve avec u_(n+1) - u_(n) = (-1/2)u_(n) +2
et on fait comment pour trouver le signe de ca sans savoir le signe de (un) tout seul ?

[invite6f0362b8]

tu doit obtenir

-Un/2 + 2

donc tu calcule

-Un/2 +2 <=0 ---> ca te donne un certain Un ?

-Un/2 + 2 >=0 ------> un certain Un


Et apres tu calcule les premiers valeurs de Un

u0 u1 u2 u3 ..

a partir de la tu poura dire que la serie Un est monotone (de)croissante a partir du rang m

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Eh bien on est embété

Ici cette technique a l'air pas top.

Alors il faut en changer : essaye de voir sur les premiers termes si la suite a l'air croissante ou décroissante. Une fois que tu t'es fait une idée, essaye de montrer par récurrence que c'est la bonne.

[shokin]

Cherche la limite de u(n) quand n tend vers l'infini...

tit truc : pour quel x, x/2 + 2 = x ?

Dans une suit affine (où U(n+1) = a*U(n)+b),

quand n tend vers l'infini,
U(n) tend vers a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

(que je vous laisse démontrer si ça vous dit)

Suffit alors de remplacer U(0) par 0, a par 1/2 et b par 2 !

Shokin

[invite6f0362b8]

Cherche la limite de u(n) quand n tend vers l'infini...

tit truc : pour quel x, x/2 + 2 = x ?

Dans une suit affine (où U(n+1) = a*U(n)+b),

quand n tend vers l'infini,
U(n) tend vers a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

(que je vous laisse démontrer si ça vous dit)

Suffit alors de remplacer U(0) par 0, a par 1/2 et b par 2 !

Shokin

pas d'accord ...

c'est pas parceque ma limite est infini + , que ma serie est croissante ...

[invite6a28eabc]

Arf je suis désolé mais je trouve pas, la premiere question était de démontrer ke (un) est bornée entre 0 et 4 et ca j'ai réussi..mais la monotonie...

[invite6f0362b8]

signe de Un+1 - Un = -Un/2 +2

positif si 2 - Un/2 >=0 ------> 4 > Un (d'ou la croissance) (eq a)

négatif si 2 -Un/2 <=0 ----> 4 < Un (d'ou la decroissance)


puisque tu as demontrer que la suite est bornée par 0,4 .; alors par definition 0 < Un < 4 ....

or l'eq a te dis si Un< 4 alors U(n+1)-Un est positif .. donc Un+1 > Un ..;donc la suite est monotone croissante

[invite6a28eabc]

A ouaii merci beaucoup Pénélope ^^ @+

[shokin]

pas d'accord ...

c'est pas parceque ma limite est infini + , que ma serie est croissante ...

Je n'ai pas dit que la limite était croissante à cause de l'existence d'une limite réelle quand n tend vers l'infini. J'ai juste indiqué comment trouvé cette limite, qui existe en l'occurence.

U(n+1)-U(n) = 1/2 * U(n) + 2 - U(n)
= -1/2 U(n) + 2

Il faudrait alors démontrer que U(n) est strictement inférieur à 4 pour tout n naturel.

f(n)=U(n) = a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

f'(n) = ln(a) * a^n * U(0) + b/(a-1) * ln(a) * a^n

Si je remplace U(0), a et b respectivement par 0, 1/2 et 2 :

f'(n) = ln(1/2) * (1/2)^n * 0 + 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
= 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
= -4 * ln(1/2) * (1/2)^n

Ce produit est toujours strictement positif car :

1) -4 est strictement négatif
2) ln(1/2) est strictement négatif
3) (1/2)^n est strictement positif pour tout n naturel

Donc f'(n)>0 pour tout n naturel.

Shokin

[invite6f0362b8]

Je n'ai pas dit que la limite était croissante à cause de l'existence d'une limite réelle quand n tend vers l'infini. J'ai juste indiqué comment trouvé cette limite, qui existe en l'occurence.

U(n+1)-U(n) = 1/2 * U(n) + 2 - U(n)
= -1/2 U(n) + 2

Il faudrait alors démontrer que U(n) est strictement inférieur à 4 pour tout n naturel.

f(n)=U(n) = a^n * U(0) + b * [(a^n - 1)/(a-1)]

f'(n) = ln(a) * a^n * U(0) + b/(a-1) * ln(a) * a^n

Si je remplace U(0), a et b respectivement par 0, 1/2 et 2 :

f'(n) = ln(1/2) * (1/2)^n * 0 + 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
= 2/(1/2 - 1) * ln(1/2) * (1/2)^n
= -4 * ln(1/2) * (1/2)^n

Ce produit est toujours strictement positif car :

1) -4 est strictement négatif
2) ln(1/2) est strictement négatif
3) (1/2)^n est strictement positif pour tout n naturel

Donc f'(n)>0 pour tout n naturel.

Shokin

Ouiii ............