x = cos x

[inviteae71f3fb]

Vous ne savez pas par hasard comment démonter que x = cos x n'a qu'une solution .
SVP .

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[inviteaf1870ed]

Si tu étudiais la fonction f(x) = cos(x)-x sur [o,2pi] ?

[inviteeecca5b6]

Salut,

comme -1 <= cos x <= 1, je proposerais de faire l'etude sur l'interval [-1 , 1]

[inviteae71f3fb]

J'ai étudié la fonction sur 0 2pi :
La dérivée est négative donc la fonction est strictement décroissante (f'(x) =-sinx -1) .
f(0) > O (=1) et f(2 pi) < O .
Donc ceci prouve bien qu'il n'y a qu'une solution .
Merci à vous .
PS :il faut étudier la fonction sur 0 2pi car il faut considérer le cercle trigonométrique entier ,je pense .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeecca5b6]

PS :il faut étudier la fonction sur 0 2pi car il faut considérer le cercle trigonométrique entier ,je pense .

Question: Pourquoi ?

Et qui vous dit que y'a pas de solution pour x < 0 ?

[invite3bc71fae]

Je suis d'accord avec Evil.Saien, vous devriez reconsidérer votre intervalle d'étude...

[invite6f0362b8]

je prendrait plutot [-pi, pi] comme intervalle

car il sera simple par la suite de demontrer que sur ]-inf, -pi[ et sur ]pi, inf[ que x=cosx n'a pas de solution

[shokin]

Sur l'intervalle [0;pi], f(x)=cos(x) est monotone strictement décroissante.

Sur l'iintervalle [-pi;0] f(x)=cos(x) est monotone strictement croissante.

Et on peux bien comparer les fonctions f(x)=cos(x) et g(x)=x...

f(-pi)=0>-pi=g(-pi)
f(0)=1>0=g(0)

Donc aucune intersection entre f(x) et g(x) sur [-pi;0]

f(0)=1>0=g(0)
f(pi)=0<pi=g(pi)

Donc une et une seule intersection entre f(x) et g(x) sur [0;pi]

Shokin

[inviteeecca5b6]

je prendrait plutot [-pi, pi] comme intervalle

car il sera simple par la suite de demontrer que sur ]-inf, -pi[ et sur ]pi, inf[ que x=cosx n'a pas de solution

Pourquoi diable voulez-vous absolument aller jusqu'a pi ?????

Qu'esperez-vous trouvez dans les intervalles [-pi, -1[ et ]1, pi] ?????

[inviteaf1870ed]

J'imagine que c'est parce que c'est plus facile de calculer cos(pi) que cos(1)

[inviteeecca5b6]

J'imagine que c'est parce que c'est plus facile de calculer cos(pi) que cos(1)

Euh, non pas du tout, cos 1 = cos 1 !

Et surtout poses-toi cette question: dans cette exercice-ci, est-ce utilse de calculer f(pi) ? Est-ce utile de calculer f(x) pour |x| > 1 ? Si oui, j'aimerais bien que tu me dises pourquoi ?

[invited04d42cd]

Tu as raison, si x>1 ou x<-1, l'égalité n'aura jamais lieu...

[invitefc6515df]

Une manière beaucoup plus simple est la méthode graphique : dessiner f(x) = cos(x) et g(x) = x permettra de trouver les points d'intersections et surtout le nombre de ces points (ce qui résoud la question si elle ne demande que le nombre de solution de l'équation x = cos(x) ).

[inviteae71f3fb]

par la méthode graphique on peut aussi repérer l'intersection entre f(x) = cosx - x et l'axe des abssisse .

Ensuite la dérivée est négative ou égale à O pour pour tout x réel .
en fait on peut raisonner par encadrement successif .
moi dans mon raisonnement j'ai fait un simple encadrement 0 2pi car on ne me demande pas la solution .

[invitec85fb8ec]

Quelques suggestions :
| cos x | <= 1 donc l'intervalle optimum est [ -1, +1 ]
la fonction est paire, comme y = x est impaire, il suffit d'étudier dans [ 0, 1 ] et il n'y a donc qu'une seule racine. Sans aller trop loin, on sait qu'un développement, très très très limité de cos x est 1 - x^2 /2 donc une solution très approximée est la solution de l'équation :

1 - x^2/2 -x = 0 soit x²+2x-2 = 0 => x ~ 0.73205

A toi d'affiner après.