démonstration dans les espaces vectoriels

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bonjour,
voilà j'aurai besoin d'aide sur cette démonstration car je ne la comprend pas. E est un espace vectoriel et K un corps
soit x appartenant à E et appartient à K
0_K.x=0_E

pour démontrer cela on utilise ().x=.x+.x

la on prend =0_K puis la propriété est démontrée
ce que je ne comprend pas c'est pourquoi -.x+.x=0_E car le + vient du corps donc ca aurait dû être 0_K

merci pour votre aide
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[invite986312212]

ça doit être parce que 0=0+0 (dans K et dans E) donc 0.x=(0+0).x=0.x+0.x
si tu poses y=0.x tu as montré y=y+y et comme E est un groupe abélien, cela entraîne y=0, soit 0.x=0

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mais le problème c'est que ce ne sont pas les mêmes 0 l'un est dans E et l'autre dans K

[silk78]

Oui mais le raisonnement d'ambrosio est quand même valide.

En effet, comme (0_K+0_K)=0_K, en posant y=0_K.x on a y+y=y avec y dans le groupe abélien (E,+), ce qui implique que y=0_E.

Donc on a bien 0_K.x=0_E

[A voir en vidéo sur Futura]

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d'accord
merci pour vos réponses

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j'aurai encore une question
pourquoi peut on dire que 0_K.x=y appartient à E?

[silk78]

Parce que E est stable par multiplication par un scalaire et que x appartient à E.