Exercice: fonction trigo TS

[invite2a519dc3]

Voici mon exercice:

On considère le demi-cercle C de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.
On veur placer, avec une bonne précision, un point M sur ce demi cercle de façon que la droite (AM) partage le demi- disque limité par [AB] et C en deux surface de même aire.
On note x la mesure en radians de l'angle BOM, x étant compris entre 0 et pi.

1.a. Quelle est l'aire du demi-disque limité par [AB] et C?
Calculer l'aire A1(x) du triangle AOM et l'aire A2(x) du triangle BOM
b. En déduire que l'aire A(x) de la partie du demi-disque située sous la droite (AM) est égale à:
1/2(x+sinx)

J'ai réussi à calculer laire du demi-disque: pi/2 ainsi que l'aire A2(x) : x/2 mais je ne trouve pas A1(x) et donc je ne peut pas en déuire le petit b.

Si qqn pouvait m'aider c'est assez urgent. Merci d'avance
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[inviteca91c546]

SI j'ai bien compris, x est l'angle BÔM... donc la hauteur issue de M dans BOM vaut 1/2.sin(x) et l'aire aussi (car le rayon vaut 1)

De plus la hauteur d'avant peu aussi "servir" dans le triangle AMB, tel que l'aire valle sin(x)

D'ou l'aire d'AMO vaut 1/2.sin(x)

Donc l'aire A(x) vaut AMO+aire de x rad de cercle de centre O
A(x)=1/2.sin(x) + x/2A
A(x)=1/2(sin(x)+x)

Tada...

Après pour avoir des aire égales, il faut que A(x)=Pi/4
Pi/2=sin(x) + x
sin(x)+x-Pi/2 = O

Alors il te foux une fonction (f(x)=sin(x)+x-Pi/2)
Tu dérive:
f'(x)=cos(x)+1

On travail sur [0;Pi]

Tu fais un tableau de signe, et tu as:

x 0 Pi
f'(x) 2 - 0
f(x) -Pi/2 Pi/2

Tu dis que f est strictement croissante sur 0;Pi, donc elle réalise une bijection de O,Pi dans -PI/2;Pi/2 or 0€-PI/2;Pi/2 donc par décotomie tu trouve que sa marche pour Pi/2... mais bon, sa c'est la méthode qui marche qq soit l'aire désirée.. mais comme de tout façon on veut l'aire a "moitié moitié", c'était clair que c'était pour x=Pi/2, mais au moins on l'a vérifié! ^^ (et on a bien sin(Pi/2)+Pi/2-Pi/2=0, a la limite on peu presque le dire de suite!)

Voila j'espère que je me suis pas gourré... @+

[inviteae71f3fb]

aire BOM = sin x/ 2
aire AMO = sin X /2
Aire demicercle = pi/2
portion de cercle définie par l'angle x pi/2 /pi =x/2
Aire dessous = aire AOM + portion de cercle définie par l'angle :
x/2 + sinx /2
= 1/2 (sin x+x)
CQFD!