problème espace vectoriel

[invite371ae0af]

bonjour
E est un espace vectoriel et A une partie de E

Si on pose F=Vect A . On dit que F est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous espace vectoriel contenant A

Mais qu'est ce que cela veut dire j'ai essayé de faire un dessin mais je crois que c'est faux: sur le dessin j'ai considéré un sous espace vectoriel qui se rapprocher le plus de A c'est à dire un sev presque égale à A

Vu que je ne comprend pas ce qu'est le vect je ne comprend pas la démonstration de la propriété suivante:
G et H 2 sev de E
G+H=Vect(G U H)

Pour montrer que Vect(G U H) est inclus dans G+H
on a commencé par montrer que G U H était inclus dans G+H
puis que comme vect(G U H) est inclus dans G U H alors on a l'inclusion voulue.
cependant moi j'aurai plutôt dit que c'était G U H inclus dans Vect(G U H) par la définition que j'ai donné plus haut

j'espère que vous pourrez m'aider

merci
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[invite2bc7eda7]

Bonjour,

il faut savoir que par exemple Vect(e1,e2) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs e1 et e2. Si on considère maintenant une partie A, alors Vect(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A. Vect(A) est alors le sev engendré par A, c'est le plus petit. Vect(A) est un espace vectoriel alors que A n'en est surement pas un a priori...

J'espere que vous comprendrez mieux comme ca,

Mystérieux1

[invite57a1e779]

cependant moi j'aurai plutôt dit que c'était G U H inclus dans Vect(G U H) par la définition que j'ai donné plus haut

Bien sûr, par définition du sous-espace engendré : , et est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel qui satisfait cette inclusion.

Mais, par définition de la somme , on dispose des inclusions : et .

On en déduit : , et le caractère minimal de prouve que .

[invite371ae0af]

donc la démo que j'ai est fausse on a jamais vect(F U G) inclus dans F U G

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

de plus qu'entend tu par caractère minimal de vect(F U G)
je ne vois pas en quoi ca prouve l'inclusion et le rapport avec F U G

[invite986312212]

tu peux penser à Vect(A) comme à l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels (sev) contenant A. C'est donc le plus petit sev contenant A: si B est un sev contenant A alors il contient Vect(A) .

[invite57a1e779]

Si on pose F=Vect A . On dit que F est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous espace vectoriel contenant A

Avec ta propre définition : est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel contenant .

On établit que : est un sous espace vectoriel contenant .

Le caractère minimal de , c'est le fait qu'il soit est le plus petit (au sens de l'inclusion) ; par conséquent

[invite371ae0af]

merci j'ai compris