problème sur un exo

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bonjour
j'aurai besoin d'aide sur cette exercice :
P={(x,y,z) appartient à R³, x+y+z=0}
Q={(x,y,z) appartient à R³,x-y-z=1}

On me demande de montrer que P + Q = R³
je pense qu'il faut faire une double inclusion
mais est ce que P+Q={x appartient à R, x=0}? Personnellement je pense que non car les triplets (x,y,z) dans les 2 ensembles sont différents mais je ne suis pas sûr


merci pour votre aide
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

P et Q sous deux sous espaces affines de R^3
Il te suffit de montrer que tout vecteur de R peut s'écrire comme un vecteur de P ajouté à un vecteur de Q

P+Q={X de R^3 / X=U+V avec U de P et V de Q }

RoBeRTo

[369]

voici ce que j'ai fait
P+Q={a+b,a=(a1,a2,a3) appartient à P,b=(b1,b2,b3) appartient à Q}
montrons que P+Q inclus dans R³
soit z appartenant à P+Q
il existe a appartenant à P et b appartenant à Q tel que z=a+b
z=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
donc z appartient à R³
on a P+Q inclus dans R³

montrons que R³ inclus dans P+Q
soit (u,v,w) appartenant à R³
pour que (u,v,w) appartiennent à P+Q il suffit de prendre u=a1+b1
v=a2+b2
w=a3+b3

donc P+Q=R³

dans la suite de l'exercice on demandait si P U Q était un sev de R³


j'ai répondu que non car par définition pour que P U Q soit un sev de R³ il faut que P soit égale à Q. Ce qui n'est pas le cas

après j'ai essayé de faire la démonstration par le critère de sev
quelque soit a=(a1,a2,a3) , b=(b1,b2,b3) appartenant à P U Q,
a+b appartient à P U Q c'est à dire a+b appartient à P ou a+b appartient à Q
(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)=0 ou (a1+b1)-(a2+b2)-(a3-b3)=0
les 2 relations précédentes ne peuvent être vérifiées simultanément donc P U Q n'est pas un sev de R³



est ce que ce que j'ai fait est juste?

[God's Breath]

montrons que R³ inclus dans P+Q
soit (u,v,w) appartenant à R³
pour que (u,v,w) appartiennent à P+Q il suffit de prendre u=a1+b1
v=a2+b2
w=a3+b3

Non !
A partir du moment où tu dis : "soit (u,v,w) appartenant à R³", tu n'as plus aucun contrôle sur u, v et w.
Le problème est alors de trouver et qui conviennent.
Tu dois donc résoudre le système :



avec suivant la définition de Q de ton premier message, ou parce que tu c'est ce que tu utilises dans ta réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

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bon je vais regarder ca et c'est h =0

le reste est il bon?

[369]

si j'ai bien compris je cherche les valeurs de (a1,a2,a3) et (b1,b2,b3)
mais cela revient à chercher les valeurs de u,v et w
sinon j'ai trouvé (a1,a2,a3)=(0,0,0)
(b1,b2,b3)=(0,0,0)
donc (u,v,w)=(0,0,0)

[God's Breath]

mais cela revient à chercher les valeurs de u,v et w

Non.
Encore une fois, à partir du moment où tu dis "soit (u,v,w) appartenant à R³", et bien, u, v et w "sont", et tu ne peux plus rien y faire.
Tu n'as pas à les chercher, tu les as fait apparaître par le mot "soit".
Il faut calculer les a_i et les b_i en fonction de u, v et w.

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je n'arrive pas à résoudre le système, j'ai utilisé le pivot de gauss mais j'aboutit pas
y-a-t-il une méthode particulière pour le résoudre?

[God's Breath]

Les trois premières équations fournissent :



ce qui donne, en reportant dans les deux dernières équations :



et il suffit de résoudre ce système de 2 équations à 3 inconnues, par exemple en calculant et en fonction de .

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j'arrive à
b1= 1/2 (u+v+w)
b2=1/2 (u+v+w)+a3
b3=w-a3
a1=-1/2 (-u+v+w)
a2= 1/2 (-u+v+w)-a3

mais à ce moment là comment faire pour montrer ce que je veux?

[God's Breath]

Tu as ce que tu veux : tout vecteur (u,v,w) de R³ se décompose en la somme d'un vecteur (a₁,a₂,a₃) de P et d'un vecteur (b₁,b₂,b₃) de Q, donc (u,v,w) appartient à P+Q.

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en faite j'ai pas compris pourquoi on devait résoudre le système?
qu'est ce que cela me donne au juste?

[God's Breath]

La définition de "x appartient à P+Q" est :
il existe x_P appartenant à P et x_Q appartenant à Q tels que x=x_P+x_Q.

Tu dois donc, à partir d'un vecteur x=(u,v,w), calculer des composantes x_P=(a₁,a₂,a₃) appartenant à P et x_Q=(b₁,b₂,b₃) appartenant à Q.
La résolution du système est le calcul explicite de ces composantes.

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d'accord merci

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j'aurai encore une question sur cet exo,
tu as dit qu'on devait exprimer (a1,a2,a3) et (b1,b2,b3) en fonction de (u,v,w) pourant je n'exprime pas a3 en fonction de (u,v,w)

[God's Breath]

Dans cet exercice, la décomposition de sur n'est pas unique, elle est donnée en fonction qui est alors un paramètre.

Tu en fait as obtenu une infinité de décompositions avec :

et .

[369]

d'accord merci