bonjour
j'aurai besoin d'aide sur cette exercice :
P={(x,y,z) appartient à R3, x+y+z=0}
Q={(x,y,z) appartient à R3,x-y-z=1}
On me demande de montrer que P + Q = R3
je pense qu'il faut faire une double inclusion
mais est ce que P+Q={x appartient à R, x=0}? Personnellement je pense que non car les triplets (x,y,z) dans les 2 ensembles sont différents mais je ne suis pas sûr
merci pour votre aide
Bonjour,
P et Q sous deux sous espaces affines de R^3
Il te suffit de montrer que tout vecteur de R peut s'écrire comme un vecteur de P ajouté à un vecteur de Q
P+Q={X de R^3 / X=U+V avec U de P et V de Q }
RoBeRTo
voici ce que j'ai fait
P+Q={a+b,a=(a1,a2,a3) appartient à P,b=(b1,b2,b3) appartient à Q}
montrons que P+Q inclus dans R3
soit z appartenant à P+Q
il existe a appartenant à P et b appartenant à Q tel que z=a+b
z=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
donc z appartient à R3
on a P+Q inclus dans R3
montrons que R3 inclus dans P+Q
soit (u,v,w) appartenant à R3
pour que (u,v,w) appartiennent à P+Q il suffit de prendre u=a1+b1
v=a2+b2
w=a3+b3
donc P+Q=R3
dans la suite de l'exercice on demandait si P U Q était un sev de R3
j'ai répondu que non car par définition pour que P U Q soit un sev de R3 il faut que P soit égale à Q. Ce qui n'est pas le cas
après j'ai essayé de faire la démonstration par le critère de sev
quelque soit a=(a1,a2,a3) , b=(b1,b2,b3) appartenant à P U Q,
a+b appartient à P U Q c'est à dire a+b appartient à P ou a+b appartient à Q
(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)=0 ou (a1+b1)-(a2+b2)-(a3-b3)=0
les 2 relations précédentes ne peuvent être vérifiées simultanément donc P U Q n'est pas un sev de R3
est ce que ce que j'ai fait est juste?
Non !Envoyé par 369
A partir du moment où tu dis : "soit (u,v,w) appartenant à R3", tu n'as plus aucun contrôle sur u, v et w.
Le problème est alors de trouveret
Tu dois donc résoudre le système :
avec
bon je vais regarder ca et c'est h =0
le reste est il bon?
si j'ai bien compris je cherche les valeurs de (a1,a2,a3) et (b1,b2,b3)
mais cela revient à chercher les valeurs de u,v et w
sinon j'ai trouvé (a1,a2,a3)=(0,0,0)
(b1,b2,b3)=(0,0,0)
donc (u,v,w)=(0,0,0)
Non.
Encore une fois, à partir du moment où tu dis "soit (u,v,w) appartenant à R3", et bien, u, v et w "sont", et tu ne peux plus rien y faire.
Tu n'as pas à les chercher, tu les as fait apparaître par le mot "soit".
Il faut calculer les ai et les bi en fonction de u, v et w.
je n'arrive pas à résoudre le système, j'ai utilisé le pivot de gauss mais j'aboutit pas
y-a-t-il une méthode particulière pour le résoudre?
Les trois premières équations fournissent :
ce qui donne, en reportant dans les deux dernières équations :
et il suffit de résoudre ce système de 2 équations à 3 inconnues, par exemple en calculant
j'arrive à
b1= 1/2 (u+v+w)
b2=1/2 (u+v+w)+a3
b3=w-a3
a1=-1/2 (-u+v+w)
a2= 1/2 (-u+v+w)-a3
mais à ce moment là comment faire pour montrer ce que je veux?
Tu as ce que tu veux : tout vecteur (u,v,w) de R3 se décompose en la somme d'un vecteur (a1,a2,a3) de P et d'un vecteur (b1,b2,b3) de Q, donc (u,v,w) appartient à P+Q.
en faite j'ai pas compris pourquoi on devait résoudre le système?
qu'est ce que cela me donne au juste?
La définition de "x appartient à P+Q" est :
il existe xP appartenant à P et xQ appartenant à Q tels que x=xP+xQ.
Tu dois donc, à partir d'un vecteur x=(u,v,w), calculer des composantes xP=(a1,a2,a3) appartenant à P et xQ=(b1,b2,b3) appartenant à Q.
La résolution du système est le calcul explicite de ces composantes.
d'accord merci
j'aurai encore une question sur cet exo,
tu as dit qu'on devait exprimer (a1,a2,a3) et (b1,b2,b3) en fonction de (u,v,w) pourant je n'exprime pas a3 en fonction de (u,v,w)
Dans cet exercice, la décomposition de
Tu en fait as obtenu une infinité de décompositions
d'accord merci
